Страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1104. Имеются следующие данные о годовых удоях молока на молочной ферме:

Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний годовой удой молока от одной коровы на этой ферме.

Для того чтобы найти средний годовой удой молока от одной коровы, необходимо рассчитать среднее арифметическое взвешенное. Согласно условию, сначала каждый интервал заменяется его серединой.

1. Находим середины интервалов.

• Интервал "до 1000" принимаем за интервал от 0 до 1000. Его середина: $x_1 = \frac{0 + 1000}{2} = 500$ л.
• Интервал 1000–2000: $x_2 = \frac{1000 + 2000}{2} = 1500$ л.
• Интервал 2000–3000: $x_3 = \frac{2000 + 3000}{2} = 2500$ л.
• Интервал 3000–4000: $x_4 = \frac{3000 + 4000}{2} = 3500$ л.
• Интервал 4000–5000: $x_5 = \frac{4000 + 5000}{2} = 4500$ л.

2. Находим общее число коров на ферме.

Суммируем число коров из второго столбца таблицы:

Общее число коров $= 2 + 8 + 23 + 13 + 2 = 48$ коров.

3. Рассчитываем общий предполагаемый годовой удой.

Для этого умножаем середину каждого интервала на соответствующее число коров и складываем полученные результаты:

Общий удой $= (500 \cdot 2) + (1500 \cdot 8) + (2500 \cdot 23) + (3500 \cdot 13) + (4500 \cdot 2)$

$= 1000 + 12000 + 57500 + 45500 + 9000 = 125000$ л.

4. Находим средний годовой удой от одной коровы.

Делим общий удой на общее число коров:

Средний удой $= \frac{\text{Общий удой}}{\text{Общее число коров}} = \frac{125000}{48}$

Сократим дробь:

$\frac{125000}{48} = \frac{62500}{24} = \frac{31250}{12} = \frac{15625}{6}$

Выделим целую часть:

$\frac{15625}{6} = 2604 \frac{1}{6}$ л.

Ответ: $2604 \frac{1}{6}$ л.

1105. В ходе статистического исследования были опрошены 80 учащихся, которых попросили указать время (в минутах), затрачиваемое на дорогу от дома до школы. По результатам исследования были составлены два интервальных ряда: один с интервалом длиной 5 мин, другой с интервалом длиной 10 мин. Для каждого интервального ряда построили гистограмму. Чем различаются эти гистограммы и что у них общего?

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать, как изменение длины интервала при группировке данных влияет на вид гистограммы. Сравним гистограммы, построенные для одной и той же выборки из 80 учащихся, но с интервалами 5 и 10 минут.

• Основа данных: Обе гистограммы представляют результаты опроса 80 учащихся. Это значит, что общее количество наблюдений, визуализированных на каждой гистограмме, одно и то же и равно 80.
• Суммарная площадь: В статистике принято строить гистограммы так, чтобы площадь каждого столбца была равна (или пропорциональна) частоте попадания значений в этот интервал. Следовательно, суммарная площадь всех столбцов на каждой из гистограмм будет одинаковой и будет соответствовать общему числу опрошенных, то есть 80.
• Общая форма распределения: Так как данные одни и те же, общий характер распределения времени на дорогу до школы будет схожим на обеих гистограммах. Если у большинства учеников дорога занимает, к примеру, от 10 до 30 минут, то в этом диапазоне на обеих гистограммах будут расположены самые значимые (высокие или широкие) столбцы. Общие черты, такие как асимметрия или наличие одного основного пика, сохранятся.
• Диапазон значений: Обе гистограммы будут покрывать один и тот же полный диапазон времени — от минимального до максимального значения в выборке.

• Количество и ширина столбцов: Это самое главное визуальное различие.
  • Гистограмма с интервалом 5 минут будет иметь большее количество столбцов, и они будут узкими.
  • Гистограмма с интервалом 10 минут будет иметь примерно в два раза меньше столбцов, но они будут в два раза шире, так как каждый из них объединяет данные из двух соседних 5-минутных интервалов.
• Высота столбцов и степень детализации:
  • На гистограмме с интервалом 5 минут распределение будет выглядеть более подробным и "рваным". Она способна показать локальные пики и спады, которые будут невидимы при большем интервале. Высота столбцов здесь может сильно варьироваться от одного интервала к другому.
  • На гистограмме с интервалом 10 минут происходит сглаживание данных. Мелкие колебания частот усредняются внутри более широких интервалов. В результате гистограмма выглядит более гладкой, но при этом теряются детали. Она дает более общее представление о распределении.
• Информативность: Выбор длины интервала — это компромисс между детализацией и обобщением. Гистограмма с узкими интервалами (5 мин) лучше подходит для детального изучения структуры данных, а гистограмма с широкими интервалами (10 мин) — для получения общего представления о распределении, отсеивая случайный "шум".

Ответ: Общее: обе гистограммы построены по одним и тем же данным (опрос 80 учащихся), поэтому они будут иметь схожую общую форму распределения, покрывать один и тот же диапазон значений, а суммарная площадь их столбцов будет одинаковой. Различия: гистограмма с интервалом 5 минут будет иметь больше узких столбцов и покажет более детальную, но и более "рваную" картину распределения. Гистограмма с интервалом 10 минут будет иметь меньше широких столбцов, она будет выглядеть более сглаженной, но при этом скроет мелкие детали распределения данных.