Страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1072. Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:

а) среднее арифметическое;

б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;

в) сумму квадратов отклонений;

г) дисперсию ряда.

а) среднее арифметическое;

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. Дан ряд чисел: 5, 6, 8, 10, 7, 2. Количество чисел в ряду, обозначаемое как $n$, равно 6.

Сначала найдем сумму всех чисел в ряду:

$S = 5 + 6 + 8 + 10 + 7 + 2 = 38$

Теперь разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее арифметическое $\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$

Ответ: $6\frac{1}{3}$.

б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;

Отклонение – это разность между каждым конкретным числом в ряду и средним арифметическим этого ряда. Мы уже вычислили, что среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{19}{3}$. Вычислим отклонения для каждого члена ряда:

Отклонение для 5: $5 - \frac{19}{3} = \frac{15}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Отклонение для 6: $6 - \frac{19}{3} = \frac{18}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{1}{3}$

Отклонение для 8: $8 - \frac{19}{3} = \frac{24}{3} - \frac{19}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Отклонение для 10: $10 - \frac{19}{3} = \frac{30}{3} - \frac{19}{3} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

Отклонение для 7: $7 - \frac{19}{3} = \frac{21}{3} - \frac{19}{3} = \frac{2}{3}$

Отклонение для 2: $2 - \frac{19}{3} = \frac{6}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; 1\frac{2}{3}; 3\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; -4\frac{1}{3}$.

в) сумму квадратов отклонений;

Для нахождения суммы квадратов отклонений необходимо каждое отклонение, найденное в предыдущем пункте, возвести в квадрат, а затем сложить полученные значения.

Квадрат отклонения для 5: $(-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

Квадрат отклонения для 6: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Квадрат отклонения для 8: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$

Квадрат отклонения для 10: $(\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9}$

Квадрат отклонения для 7: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

Квадрат отклонения для 2: $(-\frac{13}{3})^2 = \frac{169}{9}$

Теперь сложим эти квадраты:

$\frac{16}{9} + \frac{1}{9} + \frac{25}{9} + \frac{121}{9} + \frac{4}{9} + \frac{169}{9} = \frac{16+1+25+121+4+169}{9} = \frac{336}{9}$

Сократим дробь: $\frac{336}{9} = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3}$

Ответ: $37\frac{1}{3}$.

г) дисперсию ряда.

Дисперсия – это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений. Чтобы ее найти, нужно сумму квадратов отклонений, вычисленную в пункте в), разделить на количество членов ряда $n$.

Сумма квадратов отклонений равна $\frac{112}{3}$, а количество членов ряда $n = 6$.

Вычисляем дисперсию $D$:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{\frac{112}{3}}{6} = \frac{112}{3 \cdot 6} = \frac{112}{18} = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9}$

Ответ: $6\frac{2}{9}$.

1073. Вычислите дисперсию ряда чисел:

а) 6, 8, 10, 12, 9;

б) –4, –1, –2, 7, 5, 4.

а) 6, 8, 10, 12, 9;

Дисперсия ряда чисел — это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Для вычисления дисперсии $D$ используется формула:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где $n$ — количество чисел в ряду, $x_i$ — i-й член ряда, а $\bar{x}$ — среднее арифметическое ряда.

1. Сначала найдем среднее арифметическое ряда. Количество чисел в ряду $n=5$.

$\bar{x} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 9}{5} = \frac{45}{5} = 9$

2. Теперь найдем отклонение каждого числа от среднего арифметического ($x_i - \bar{x}$):

$6 - 9 = -3$

$8 - 9 = -1$

$10 - 9 = 1$

$12 - 9 = 3$

$9 - 9 = 0$

3. Возведем каждое отклонение в квадрат ($(x_i - \bar{x})^2$):

$(-3)^2 = 9$

$(-1)^2 = 1$

$(1)^2 = 1$

$(3)^2 = 9$

$(0)^2 = 0$

4. Найдем сумму квадратов отклонений и разделим ее на количество чисел в ряду, чтобы найти дисперсию:

$D = \frac{9 + 1 + 1 + 9 + 0}{5} = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4

б) -4, -1, -2, 7, 5, 4.

1. Найдем среднее арифметическое ряда. Количество чисел в ряду $n=6$.

$\bar{x} = \frac{-4 + (-1) + (-2) + 7 + 5 + 4}{6} = \frac{-7 + 16}{6} = \frac{9}{6} = 1.5$

2. Найдем отклонение каждого числа от среднего арифметического ($x_i - \bar{x}$):

$-4 - 1.5 = -5.5$

$-1 - 1.5 = -2.5$

$-2 - 1.5 = -3.5$

$7 - 1.5 = 5.5$

$5 - 1.5 = 3.5$

$4 - 1.5 = 2.5$

3. Возведем каждое отклонение в квадрат ($(x_i - \bar{x})^2$):

$(-5.5)^2 = 30.25$

$(-2.5)^2 = 6.25$

$(-3.5)^2 = 12.25$

$(5.5)^2 = 30.25$

$(3.5)^2 = 12.25$

$(2.5)^2 = 6.25$

4. Найдем дисперсию как среднее арифметическое квадратов отклонений:

$D = \frac{30.25 + 6.25 + 12.25 + 30.25 + 12.25 + 6.25}{6} = \frac{97.5}{6} = 16.25$

Ответ: 16.25

1074. Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:

a) среднее арифметическое;

б) дисперсию;

в) среднее квадратичное отклонение.

Составим ряд, состоящий из пяти чисел. Для простоты вычислений выберем следующий ряд: 1, 2, 5, 8, 9.

Теперь найдем для этого ряда указанные статистические характеристики.

а) среднее арифметическое;

Среднее арифметическое ряда чисел ($\bar{x}$) — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество ($n$).

Формула для нахождения среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

В нашем ряде 5 чисел ($n=5$): 1, 2, 5, 8, 9.

Найдем их сумму:

$1 + 2 + 5 + 8 + 9 = 25$

Теперь разделим сумму на количество чисел:

$\bar{x} = \frac{25}{5} = 5$

Ответ: среднее арифметическое ряда равно 5.

б) дисперсию;

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического.

Формула для нахождения дисперсии:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Среднее арифметическое мы уже нашли: $\bar{x} = 5$. Теперь найдем квадраты отклонений для каждого числа в ряду:

$(1 - 5)^2 = (-4)^2 = 16$

$(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$

$(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$

$(8 - 5)^2 = 3^2 = 9$

$(9 - 5)^2 = 4^2 = 16$

Теперь найдем сумму этих квадратов и разделим на количество чисел:

$D = \frac{16 + 9 + 0 + 9 + 16}{5} = \frac{50}{5} = 10$

Ответ: дисперсия ряда равна 10.

в) среднее квадратичное отклонение.

Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения в ряду отклоняются от среднего арифметического.

Формула для нахождения среднего квадратичного отклонения:

$\sigma = \sqrt{D}$

Мы уже вычислили, что дисперсия $D = 10$.

Найдем корень квадратный из этого значения:

$\sigma = \sqrt{10}$

Ответ: среднее квадратичное отклонение равно $\sqrt{10}$.

1075. В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.

Месяц | Москва | Хабаровск
Январь | $-9,3$ | $-22,3$
Февраль | $-8,6$ | $-17,2$
Март | $-3,4$ | $-8,5$
Апрель | $5,1$ | $3,1$
Май | $12,4$ | $11,1$
Июнь | $16,7$ | $17,4$

Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:

а) среднее арифметическое месячных температур;

б) отклонения температур от среднего арифметического;

в) дисперсию.

Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.

Расчеты для Москвы

а) среднее арифметическое месячных температур;
Для нахождения среднего арифметического необходимо сложить все значения температур и разделить на их количество (6).
Сумма температур для Москвы: $S_{Мск} = -9.3 + (-8.6) + (-3.4) + 5.1 + 12.4 + 16.7 = 12.9$.
Среднее арифметическое вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$:
$\bar{x}_{Мск} = \frac{12.9}{6} = 2.15$.

Ответ: Среднее арифметическое месячных температур для Москвы равно $2.15^\circ C$.

б) отклонения температур от среднего арифметического;
Отклонение — это разность между конкретным значением и средним арифметическим ($x_i - \bar{x}$). Для Москвы среднее значение $\bar{x}_{Мск} = 2.15$.
Январь: $-9.3 - 2.15 = -11.45$
Февраль: $-8.6 - 2.15 = -10.75$
Март: $-3.4 - 2.15 = -5.55$
Апрель: $5.1 - 2.15 = 2.95$
Май: $12.4 - 2.15 = 10.25$
Июнь: $16.7 - 2.15 = 14.55$

Ответ: Отклонения температур для Москвы составляют: $-11.45, -10.75, -5.55, 2.95, 10.25, 14.55$.

в) дисперсию.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Формула для расчета: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Сумма квадратов отклонений для Москвы:
$(-11.45)^2 + (-10.75)^2 + (-5.55)^2 + (2.95)^2 + (10.25)^2 + (14.55)^2 = 131.1025 + 115.5625 + 30.8025 + 8.7025 + 105.0625 + 211.7025 = 602.935$.
Дисперсия для Москвы:
$D_{Мск} = \frac{602.935}{6} \approx 100.49$.

Ответ: Дисперсия для Москвы приблизительно равна $100.49$.

Расчеты для Хабаровска

а) среднее арифметическое месячных температур;
Сумма температур для Хабаровска: $S_{Хаб} = -22.3 + (-17.2) + (-8.5) + 3.1 + 11.1 + 17.4 = -16.4$.
Среднее арифметическое: $\bar{x}_{Хаб} = \frac{-16.4}{6} \approx -2.73$.

Ответ: Среднее арифметическое месячных температур для Хабаровска приблизительно равно $-2.73^\circ C$.

б) отклонения температур от среднего арифметического;
Отклонение от среднего для Хабаровска ($-2.73^\circ C$):
Январь: $-22.3 - (-2.73) = -19.57$
Февраль: $-17.2 - (-2.73) = -14.47$
Март: $-8.5 - (-2.73) = -5.77$
Апрель: $3.1 - (-2.73) = 5.83$
Май: $11.1 - (-2.73) = 13.83$
Июнь: $17.4 - (-2.73) = 20.13$

Ответ: Отклонения температур для Хабаровска составляют: $-19.57, -14.47, -5.77, 5.83, 13.83, 20.13$.

в) дисперсию.
Сумма квадратов отклонений для Хабаровска:
$(-19.57)^2 + (-14.47)^2 + (-5.77)^2 + (5.83)^2 + (13.83)^2 + (20.13)^2 \approx 382.98 + 209.38 + 33.29 + 33.99 + 191.27 + 405.22 = 1256.13$.
Дисперсия для Хабаровска:
$D_{Хаб} = \frac{1256.13}{6} \approx 209.36$.

Ответ: Дисперсия для Хабаровска приблизительно равна $209.36$.

Объяснение, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии

Дисперсия является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше значение дисперсии, тем сильнее данные отклоняются от среднего, то есть тем больше их изменчивость.

Сравним полученные значения дисперсий: $D_{Мск} \approx 100.49$ и $D_{Хаб} \approx 209.36$.

Дисперсия температурного ряда для Хабаровска более чем в два раза превышает дисперсию для Москвы. Это указывает на значительно больший разброс среднемесячных температур в Хабаровске в течение первого полугодия.

Данное различие в дисперсии отражает ключевые особенности климата этих двух городов:

1. Климат Хабаровска является резко континентальным. Для него характерны очень большие годовые амплитуды температуры: очень холодная зима и достаточно теплое лето. Большой разброс температур в течение полугодия (от $-22.3^\circ C$ в январе до $17.4^\circ C$ в июне) приводит к большому значению дисперсии.

2. Климат Москвы — умеренно-континентальный. Здесь колебания температур между сезонами менее выражены. Зимы мягче, и в целом годовая амплитуда температур меньше, чем в Хабаровске. Следовательно, разброс температурных данных меньше, что и подтверждается более низким значением дисперсии.

Таким образом, более высокое значение дисперсии для Хабаровска количественно характеризует большую "континентальность" его климата, то есть большую изменчивость температур на протяжении года, по сравнению с Москвой.