Страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1095. Расстояние от Земли до звезды $\alpha$ Центавра равно $2,07 \cdot 10^5$ астрономическим единицам (астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, которое равно $1,495 \cdot 10^8$ км). Выразите это расстояние в километрах.

Для того чтобы выразить расстояние от Земли до звезды α Центавра в километрах, необходимо умножить данное расстояние в астрономических единицах (а.е.) на значение одной астрономической единицы, выраженное в километрах.

Нам даны следующие значения:

• Расстояние от Земли до α Центавра: $2,07 \cdot 10^5$ а.е.
• 1 астрономическая единица (расстояние от Земли до Солнца): $1,495 \cdot 10^8$ км.

Чтобы найти искомое расстояние в километрах, перемножим эти две величины. Расчет будет выглядеть следующим образом:
Расстояние (км) = (Расстояние в а.е.) $\times$ (Размер а.е. в км)
Расстояние (км) = $(2,07 \cdot 10^5) \cdot (1,495 \cdot 10^8)$

При умножении чисел в стандартном виде мы перемножаем их мантиссы (числовые множители) и складываем показатели степеней десяти:
$(2,07 \cdot 1,495) \cdot 10^{5+8}$

Вычислим произведение мантисс:
$2,07 \cdot 1,495 = 3,09465$

Вычислим новую степень десяти:
$10^{5+8} = 10^{13}$

Таким образом, расстояние от Земли до α Центавра в километрах равно:
$3,09465 \cdot 10^{13}$ км.

Ответ: $3,09465 \cdot 10^{13}$ км.

1096. В 1 ккал содержится $4,2 \cdot 10^3$ Дж. Сколько килокалорий в 1 Дж?

По условию задачи нам дано соотношение между килокалориями (ккал) и джоулями (Дж):

$1 \text{ ккал} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Чтобы найти, сколько килокалорий содержится в 1 джоуле, необходимо выразить 1 Дж из этого равенства. Для этого мы можем составить пропорцию или просто разделить обе части равенства на $4,2 \cdot 10^3$.

Выразим 1 Дж:

$1 \text{ Дж} = \frac{1}{4,2 \cdot 10^3} \text{ ккал}$

Теперь вычислим значение этого выражения. Удобно разделить вычисление на две части: работа с числом и работа со степенью.

$1 \text{ Дж} = \frac{1}{4,2} \cdot \frac{1}{10^3} \text{ ккал}$

Знаем, что $\frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Вычислим частное $\frac{1}{4,2}$:

$\frac{1}{4,2} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21} \approx 0,238095...$

В исходном значении $4,2$ две значащие цифры, поэтому результат целесообразно округлить до двух значащих цифр:

$0,238095... \approx 0,24$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:

$1 \text{ Дж} \approx 0,24 \cdot 10^{-3} \text{ ккал}$

Это же значение можно записать в стандартном виде научной нотации, переместив запятую на один знак вправо: $1 \text{ Дж} \approx 2,4 \cdot 10^{-4} \text{ ккал}$. Оба варианта записи верны.

Ответ: в 1 Дж содержится примерно $0,24 \cdot 10^{-3}$ ккал.

1097. В таблице даны обозначения кратных и дольных приставок и соответствующие им множители.

Приставка: мега, Кратность: $10^6$, Обозначение: М

Приставка: кило, Кратность: $10^3$, Обозначение: к

Приставка: гекто, Кратность: $10^2$, Обозначение: г

Приставка: дека, Кратность: $10^1$, Обозначение: да

Приставка: деци, Кратность: $10^{-1}$, Обозначение: д

Приставка: санти, Кратность: $10^{-2}$, Обозначение: с

Приставка: милли, Кратность: $10^{-3}$, Обозначение: м

Приставка: микро, Кратность: $10^{-6}$, Обозначение: мк

Используя таблицу, выразите:

а) $2,5 \cdot 10^2$ Мт в тоннах;

б) $3,1 \cdot 10^{10}$ мг в килограммах;

в) $1,5 \cdot 10^{-2}$ гл в литрах;

г) $7 \cdot 10^{-7}$ м в микрометрах;

д) $8,4 \cdot 10^{-4}$ ккал в калориях.

а) Чтобы выразить $2,5 \cdot 10^2$ Мт в тоннах (т), используем данные из таблицы. Приставка "мега" (М) соответствует множителю $10^6$. Это означает, что $1 \text{ Мт} = 10^6 \text{ т}$.
Выполним преобразование:
$2,5 \cdot 10^2 \text{ Мт} = 2,5 \cdot 10^2 \cdot 10^6 \text{ т} = 2,5 \cdot 10^{(2+6)} \text{ т} = 2,5 \cdot 10^8 \text{ т}$.
Ответ: $2,5 \cdot 10^8$ т.

б) Необходимо выразить $3,1 \cdot 10^{10}$ мг в килограммах (кг). Из таблицы известно, что приставка "милли" (м) соответствует множителю $10^{-3}$, а приставка "кило" (к) — множителю $10^3$.
Это означает, что $1 \text{ мг} = 10^{-3} \text{ г}$ и $1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$.
Найдем соотношение между килограммом и миллиграммом: $1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г} = 10^3 \cdot (10^3 \text{ мг}) = 10^6 \text{ мг}$.
Следовательно, $1 \text{ мг} = 10^{-6} \text{ кг}$.
Выполним вычисление:
$3,1 \cdot 10^{10} \text{ мг} = 3,1 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 3,1 \cdot 10^{(10-6)} \text{ кг} = 3,1 \cdot 10^4 \text{ кг}$.
Ответ: $3,1 \cdot 10^4$ кг.

в) Чтобы выразить $1,5 \cdot 10^{-2}$ гл в литрах (л), посмотрим на приставку "гекто" (г). Согласно таблице, она соответствует множителю $10^2$.
Это означает, что $1 \text{ гл} = 10^2 \text{ л}$ (100 литров).
Выполним преобразование:
$1,5 \cdot 10^{-2} \text{ гл} = 1,5 \cdot 10^{-2} \cdot 10^2 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{(-2+2)} \text{ л} = 1,5 \cdot 10^0 \text{ л} = 1,5 \text{ л}$.
Ответ: $1,5$ л.

г) Требуется выразить $7 \cdot 10^{-7}$ м в микрометрах (мкм). Из таблицы находим, что приставка "микро" (мк) соответствует множителю $10^{-6}$.
Следовательно, $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$.
Отсюда выразим, чему равен 1 метр: $1 \text{ м} = \frac{1}{10^{-6}} \text{ мкм} = 10^6 \text{ мкм}$.
Теперь выполним вычисление:
$7 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \text{ мкм} = 7 \cdot 10^{(-7+6)} \text{ мкм} = 7 \cdot 10^{-1} \text{ мкм} = 0,7 \text{ мкм}$.
Ответ: $0,7$ мкм.

д) Чтобы выразить $8,4 \cdot 10^{-4}$ ккал в калориях (кал), обратимся к приставке "кило" (к). Из таблицы известно, что она соответствует множителю $10^3$.
Значит, $1 \text{ ккал} = 10^3 \text{ кал}$.
Выполним преобразование:
$8,4 \cdot 10^{-4} \text{ ккал} = 8,4 \cdot 10^{-4} \cdot 10^3 \text{ кал} = 8,4 \cdot 10^{(-4+3)} \text{ кал} = 8,4 \cdot 10^{-1} \text{ кал} = 0,84 \text{ кал}$.
Ответ: $0,84$ кал.

1098. Масса Земли $6,0 \cdot 10^{21}$ т, а масса Луны $7,35 \cdot 10^{19}$ т. На сколько тонн масса Земли больше массы Луны?

Чтобы найти, на сколько тонн масса Земли больше массы Луны, необходимо из массы Земли вычесть массу Луны. Для этого нужно привести оба числа к одному показателю степени 10.

Масса Земли: $6,0 \cdot 10^{21}$ т.

Масса Луны: $7,35 \cdot 10^{19}$ т.

Для удобства вычислений приведем оба значения к общему порядку, например, к $10^{21}$. Масса Земли уже имеет этот порядок. Преобразуем массу Луны:

$7,35 \cdot 10^{19} = 7,35 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{21} = 0,0735 \cdot 10^{21}$ т.

Теперь выполним вычитание:

$6,0 \cdot 10^{21} \text{ т} - 0,0735 \cdot 10^{21} \text{ т} = (6,0 - 0,0735) \cdot 10^{21} \text{ т} = 5,9265 \cdot 10^{21} \text{ т.}$

Ответ: масса Земли больше массы Луны на $5,9265 \cdot 10^{21}$ т.

К параграфу 10

1099. Работники телевидения решили провести опрос зрителей, чтобы выяснить, каким телевизионным передачам в вечерние часы они отдают предпочтение. Какие категории зрителей должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку?

Для того чтобы опрос отражал мнения всей аудитории телезрителей, а не какой-то отдельной ее части, выборка должна быть репрезентативной. Это означает, что она должна в уменьшенном масштабе воспроизводить структуру всей совокупности зрителей. Таким образом, в выборку необходимо пропорционально включить людей из различных социальных и демографических групп.

На наш взгляд, при составлении выборки для опроса о телевизионных предпочтениях в вечернее время ключевыми являются следующие категории зрителей:

По возрасту: Интересы и предпочтения в телепередачах сильно зависят от возраста. Необходимо включить в опрос все основные возрастные группы: дети (до 14 лет), подростки и молодежь (14–25 лет), взрослые люди (26–55 лет) и пожилые люди (старше 55 лет).

По полу: Мужчины и женщины часто отдают предпочтение разным жанрам (например, спортивные программы, политические ток-шоу, сериалы, кулинарные передачи). Поэтому в выборке должно быть пропорциональное представительство обоих полов.

По роду занятий и уровню образования: Социальный статус, профессия и образование влияют на круг интересов человека и, как следствие, на его медиапотребление. Важно опросить учащихся (школьников, студентов), рабочих, служащих (офисных работников), представителей интеллигенции (врачей, учителей, инженеров), предпринимателей, домохозяек и пенсионеров.

По месту жительства: Ритм жизни и культурный контекст в мегаполисе, небольшом городе и сельской местности существенно различаются. Это влияет на то, как и когда люди смотрят телевизор. Следовательно, выборка должна включать жителей разных типов населенных пунктов.

По семейному положению и составу семьи: Вечерний просмотр телевизора часто является совместным досугом. Поэтому выбор передачи может быть результатом компромисса в семье. Важно учесть мнения одиноких людей, бездетных пар, семей с маленькими детьми и подростками, а также семей, где вместе проживают несколько поколений.

Только при учете всех этих факторов и составлении выборки, пропорционально отражающей все эти группы, работники телевидения смогут получить объективные данные о предпочтениях своей аудитории.

Ответ: В составляемую выборку должны быть включены различные категории зрителей, сгруппированные по таким ключевым признакам, как возраст, пол, род занятий, уровень образования, место жительства и семейное положение, чтобы выборка была репрезентативной и ее результаты можно было распространить на всю аудиторию телезрителей.

1100. В таблице частот, характеризующей распределение членов артели по числу изготовленных изделий, одно число оказалось стёртым.

Число изделий Частота

12 1

13 3

14 —

15 6

16 2

Восстановите его, зная, что в среднем члены артели изготовили по 14,2 изделия.

Для того чтобы восстановить стёртое число, воспользуемся понятием среднего арифметического взвешенного. Среднее значение для данных, сгруппированных в таблицу частот, вычисляется по формуле:

$\text{Среднее} = \frac{\text{Сумма произведений значений на их частоты}}{\text{Сумма частот}}$

Пусть $f$ — неизвестная частота, соответствующая 14 изготовленным изделиям. Согласно условию, среднее число изготовленных изделий равно 14,2.

Составим уравнение, исходя из данных таблицы и среднего значения:

$14,2 = \frac{(12 \cdot 1) + (13 \cdot 3) + (14 \cdot f) + (15 \cdot 6) + (16 \cdot 2)}{1 + 3 + f + 6 + 2}$

Вычислим сумму произведений в числителе:

$12 + 39 + 14f + 90 + 32 = 173 + 14f$

Вычислим сумму частот в знаменателе (общее количество членов артели):

$1 + 3 + f + 6 + 2 = 12 + f$

Теперь наше уравнение принимает вид:

$14,2 = \frac{173 + 14f}{12 + f}$

Решим это уравнение для нахождения $f$:

$14,2 \cdot (12 + f) = 173 + 14f$
$170,4 + 14,2f = 173 + 14f$
$14,2f - 14f = 173 - 170,4$
$0,2f = 2,6$
$f = \frac{2,6}{0,2}$
$f = 13$

Таким образом, стёртое число (частота для 14 изделий) равно 13.

Ответ: 13