Страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1126. Сумма квадратов корней уравнения $x^2 + px + 1 = 0$ равна 254. Найдите коэффициент $p$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного уравнения $x^2 + px + 1 = 0$.

По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 254:
$x_1^2 + x_2^2 = 254$.

Для решения используем теорему Виета. Для данного приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) теорема Виета гласит:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся тождеством, следующим из формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим в это тождество известные нам величины: значение суммы квадратов из условия и выражения для суммы и произведения корней из теоремы Виета.
$254 = (-p)^2 - 2 \cdot 1$.

Упростим и решим полученное уравнение относительно $p$:
$254 = p^2 - 2$
$p^2 = 254 + 2$
$p^2 = 256$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим два возможных значения для коэффициента $p$:
$p = \pm\sqrt{256}$
$p = \pm16$.

Ответ: $p = 16$ или $p = -16$.

1127. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$.
Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, для существования корней должно выполняться неравенство: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a-1) = 1 - a$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 9: $x_1^2 + x_2^2 = 9$.
Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя формулу $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета и заданное условие в эту формулу:
$9 = (1 - a)^2 - 2(-2a)$.
Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$9 = (a^2 - 2a + 1) + 4a$
$9 = a^2 + 2a + 1$
$a^2 + 2a - 8 = 0$.

Это новое квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни, например, с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.
Получаем два возможных значения для параметра $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$.

Теперь вернемся к условию существования корней исходного уравнения ($a^2 + 6a + 1 \ge 0$) и проверим каждое из найденных значений $a$.
1. Проверка для $a = 2$:
$2^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
$17 \ge 0$, следовательно, условие выполняется. Значение $a=2$ является решением.
2. Проверка для $a = -4$:
$(-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
$-7 < 0$, следовательно, условие не выполняется. При $a = -4$ исходное уравнение не имеет действительных корней, поэтому это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это $a=2$.
Ответ: $a=2$.

1128. Докажите, что при любом натуральном $n$, большем 2, корни уравнения $x + \frac{1}{x} = n$ — иррациональные числа.

Для решения задачи преобразуем данное уравнение. Заметим, что область допустимых значений переменной $x$ исключает $x=0$.

Умножим обе части уравнения $x + \frac{1}{x} = n$ на $x$:

$x \cdot (x + \frac{1}{x}) = n \cdot x$

$x^2 + 1 = nx$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - nx + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-n$, $c=1$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 - 4$

По условию, $n$ — натуральное число и $n > 2$. Это означает, что $n \ge 3$.

Проверим знак дискриминанта при $n \ge 3$. Поскольку $n^2 \ge 3^2 = 9$, то $D = n^2 - 4 \ge 9 - 4 = 5$. Так как $D > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-n) \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$

Корни уравнения будут рациональными числами в том и только в том случае, если корень из дискриминанта, $\sqrt{D} = \sqrt{n^2 - 4}$, является рациональным числом. Так как $n$ — целое число, то $n^2 - 4$ также является целым числом. Корень из целого числа может быть либо целым числом, либо иррациональным. Следовательно, для того чтобы корни $x_{1,2}$ были рациональными, необходимо и достаточно, чтобы $n^2 - 4$ было полным квадратом (квадратом целого числа).

Докажем, что $n^2 - 4$ не является полным квадратом ни для какого натурального $n > 2$. Будем доказывать от противного. Предположим, что существует такое натуральное $n > 2$, что $n^2 - 4$ является полным квадратом. То есть, $n^2 - 4 = k^2$ для некоторого неотрицательного целого числа $k$.

Перепишем равенство в виде:

$n^2 - k^2 = 4$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(n - k)(n + k) = 4$

Поскольку $n$ — натуральное число, а $k$ — целое, то множители $(n - k)$ и $(n + k)$ являются целыми числами. Так как $n^2 = k^2 + 4$, то $n^2 > k^2$, откуда $n > k$ (поскольку $n>0$). Значит, $(n-k)$ — положительное целое число. Также $(n+k)$ — положительное целое число, и очевидно, что $(n+k) > (n-k)$.

Рассмотрим возможные пары целых положительных множителей числа 4, учитывая, что второй множитель больше первого:

Единственный такой вариант — это когда множители равны 1 и 4. $\begin{cases} n - k = 1 \\ n + k = 4 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(n - k) + (n + k) = 1 + 4 \Rightarrow 2n = 5 \Rightarrow n = 2.5$.

Полученное значение $n = 2.5$ не является натуральным числом, что противоречит условию. Случай, когда $n-k=2$ и $n+k=2$, привел бы к $k=0$ и $n=2$, что противоречит условию $n>2$.

Таким образом, наше предположение о том, что $n^2 - 4$ является полным квадратом для натурального $n>2$, неверно. Следовательно, для любого натурального $n > 2$ число $\sqrt{n^2 - 4}$ является иррациональным.

Поскольку корни уравнения $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$ содержат иррациональное слагаемое $\sqrt{n^2 - 4}$, они сами являются иррациональными числами (сумма/разность рационального и иррационального числа, деленная на ненулевое рациональное число, есть число иррациональное). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Корни уравнения при любом натуральном $n$, большем 2, являются иррациональными числами.

Для того чтобы доказать, что заданная функция является линейной на указанном промежутке, необходимо ее упростить. Исходная функция:

$y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}$

Рассмотрим выражения под знаками корня. Они представляют собой полные квадраты.

Первое подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x + \sqrt{2})^2$

Второе подкоренное выражение можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходную функцию:

$y = \sqrt{(x + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(x - \sqrt{2})^2}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получим:

$y = |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{2}|$

Теперь раскроем модули с учетом заданного условия $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

1. Рассмотрим выражение $|x + \sqrt{2}|$.

Так как по условию $x \ge -\sqrt{2}$, то, перенеся $\sqrt{2}$ в левую часть, получим $x + \sqrt{2} \ge 0$.

Следовательно, на заданном промежутке выражение под знаком модуля неотрицательно, и модуль раскрывается со знаком плюс:

$|x + \sqrt{2}| = x + \sqrt{2}$

2. Рассмотрим выражение $|x - \sqrt{2}|$.

Так как по условию $x \le \sqrt{2}$, то, перенеся $\sqrt{2}$ в левую часть, получим $x - \sqrt{2} \le 0$.

Следовательно, на заданном промежутке выражение под знаком модуля неположительно, и модуль раскрывается со знаком минус:

$|x - \sqrt{2}| = -(x - \sqrt{2}) = -x + \sqrt{2}$

Подставим раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x + \sqrt{2}) + (-x + \sqrt{2}) = x + \sqrt{2} - x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция принимает вид $y = 2\sqrt{2}$.

Это функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k=0$ и свободный член $b=2\sqrt{2}$. Такая функция является частным случаем линейной функции (постоянная функция), ее график — прямая линия, параллельная оси абсцисс. Следовательно, исходная функция является линейной на заданном промежутке.

Ответ: После преобразования подкоренных выражений в полные квадраты и раскрытия модулей на заданном промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция принимает вид $y = 2\sqrt{2}$, что является уравнением прямой, а значит, функция является линейной. Что и требовалось доказать.

1130. Из города $M$ в город $N$ вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города $N$ легковую автомашину. Эта машина доехала до города $M$, через 15 мин выехала обратно в город $N$ и обогнала автобус в 20 км от города $N$. Найдите расстояние между городами $M$ и $N$, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и определим систему отсчета.

Пусть расстояние между городами М и N равно $S$ км. Скорость автобуса $v_а = 40$ км/ч. Скорость легковой автомашины $v_м = 50$ км/ч.

Примем город М за начало координат (точка 0), а направление движения от М к N — за положительное направление оси. Время будем отсчитывать с момента выезда автобуса из города М ($t=0$).

1. Определение точки и времени первой встречи.

Автобус выехал из М в $t=0$. Его координата в любой момент времени $t$ описывается уравнением $x_а(t) = v_а \cdot t = 40t$.

По условию, автобус встретил легковую машину через четверть часа, то есть в момент времени $t_1 = 1/4$ ч = 0,25 ч.

Найдем координату места встречи. Это будет расстояние, которое проехал автобус за 0,25 часа: $x_{встречи} = 40 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 10$ км.

Итак, первая встреча произошла на расстоянии 10 км от города М.

2. Анализ движения легковой машины после первой встречи.

В момент встречи $t_1 = 0.25$ ч машина находилась на расстоянии 10 км от города М. Она продолжила движение в город М.

Время, которое потребовалось машине, чтобы доехать до города М, составляет: $t_{м \to М} = \frac{10 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.2$ ч.

Машина прибыла в город М в момент времени: $t_{прибытия} = t_1 + t_{м \to М} = 0.25 \text{ ч} + 0.2 \text{ ч} = 0.45$ ч.

В городе М машина стояла 15 минут, что равно $15/60 = 1/4 = 0.25$ часа.

Машина выехала из города М обратно в город N в момент времени: $t_{выезда} = t_{прибытия} + 0.25 \text{ ч} = 0.45 \text{ ч} + 0.25 \text{ ч} = 0.7$ ч.

3. Определение точки и времени обгона.

После выезда из города М в $t=0.7$ ч, координата машины в любой последующий момент времени $t$ (где $t \ge 0.7$) описывается уравнением: $x_м(t) = v_м \cdot (t - 0.7) = 50(t - 0.7)$.

Координата автобуса, который все это время продолжал движение из М, по-прежнему описывается уравнением $x_а(t) = 40t$.

Машина обогнала автобус в 20 км от города N. Это означает, что координата точки обгона (отсчитываемая от города М) равна $S - 20$ км.

Пусть обгон произошел в момент времени $t_{обгона}$. В этот момент времени координаты автобуса и машины равны $S - 20$. Составим систему уравнений:

1) Для автобуса: $40 \cdot t_{обгона} = S - 20$

2) Для машины: $50(t_{обгона} - 0.7) = S - 20$

4. Решение системы уравнений.

Из первого уравнения выразим время обгона: $t_{обгона} = \frac{S - 20}{40}$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $50\left(\frac{S - 20}{40} - 0.7\right) = S - 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $S$: $\frac{50}{40}(S - 20) - 50 \cdot 0.7 = S - 20$

$\frac{5}{4}(S - 20) - 35 = S - 20$

Перенесем слагаемые с $S$ в одну сторону, а числовые значения в другую: $\frac{5}{4}(S - 20) - (S - 20) = 35$

$\left(\frac{5}{4} - 1\right)(S - 20) = 35$

$\frac{1}{4}(S - 20) = 35$

$S - 20 = 35 \cdot 4$

$S - 20 = 140$

$S = 140 + 20$

$S = 160$

Таким образом, расстояние между городами М и N составляет 160 км.

Ответ: Расстояние между городами М и N равно 160 км.

1131. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго мальчика соответственно. Длина дорожки $L = 50$ м. Второй мальчик стартует на $\Delta t = 1$ с позже первого.

1. Анализ первой встречи

Первая встреча происходит на расстоянии $S_1 = 10$ м от старта. Пусть $t_1$ — время, прошедшее с момента старта первого мальчика до этой встречи. За это время первый мальчик пробежал 10 м, значит, его скорость:

$v_1 = \frac{10}{t_1}$

Второй мальчик стартовал на 1 секунду позже, поэтому он бежал в течение времени $(t_1 - 1)$ с и также пробежал 10 м. Его скорость:

$v_2 = \frac{10}{t_1 - 1}$

Так как второй мальчик уже стартовал, должно выполняться условие $t_1 > 1$ с.

2. Анализ второй встречи

Вторая встреча происходит через $T = 10$ с после старта первого мальчика. Найдем положение каждого мальчика в этот момент времени, отсчитывая расстояние от линии старта.

Положение первого мальчика:

$S_{\text{мальчик 1}} = v_1 \cdot T = 10v_1$

Второй мальчик к этому моменту бежит в течение $T - 1 = 9$ с. За это время он добегает до конца дорожки (50 м), разворачивается и бежит обратно. Общее расстояние, которое он преодолел:

$D_{\text{мальчик 2}} = v_2 \cdot (T - 1) = 9v_2$

Поскольку он бежит обратно от конца дорожки, его положение (координата) относительно линии старта вычисляется как разность между длиной дорожки и расстоянием, которое он пробежал в обратном направлении. Расстояние в обратном направлении равно $D_{\text{мальчик 2}} - 50$.

$S_{\text{мальчик 2}} = 50 - (D_{\text{мальчик 2}} - 50) = 100 - D_{\text{мальчик 2}} = 100 - 9v_2$

В момент второй встречи их положения совпадают: $S_{\text{мальчик 1}} = S_{\text{мальчик 2}}$.

$10v_1 = 100 - 9v_2$

3. Решение системы уравнений

Подставим выражения для $v_1$ и $v_2$ из пункта 1 в полученное уравнение:

$10 \cdot \left(\frac{10}{t_1}\right) = 100 - 9 \cdot \left(\frac{10}{t_1 - 1}\right)$

$\frac{100}{t_1} = 100 - \frac{90}{t_1 - 1}$

Разделим всё уравнение на 10 для упрощения:

$\frac{10}{t_1} = 10 - \frac{9}{t_1 - 1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{10}{t_1} = \frac{10(t_1 - 1) - 9}{t_1 - 1} \implies \frac{10}{t_1} = \frac{10t_1 - 19}{t_1 - 1}$

Используя свойство пропорции, получим:

$10(t_1 - 1) = t_1(10t_1 - 19)$

$10t_1 - 10 = 10t_1^2 - 19t_1$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$10t_1^2 - 29t_1 + 10 = 0$

Решаем уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$

Находим корни:

$t_{1} = \frac{29 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = 2.5$

$t'_{1} = \frac{29 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = 0.4$

Согласно условию $t_1 > 1$, корень $t'_{1} = 0.4$ с не подходит. Следовательно, первая встреча произошла через $t_1 = 2.5$ с после старта первого мальчика.

4. Нахождение места второй встречи

Теперь мы можем найти скорость первого мальчика:

$v_1 = \frac{10}{t_1} = \frac{10}{2.5} = 4$ м/с

Вторая встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика. Место встречи — это расстояние, которое он пробежал за это время от линии старта:

$S_{\text{встречи}} = v_1 \cdot T = 4 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 40$ м

Вопрос задачи состоит в том, на каком расстоянии от конца дорожки произошла встреча. Для этого вычтем найденное расстояние из общей длины дорожки:

Расстояние от конца = $L - S_{\text{встречи}} = 50 \text{ м} - 40 \text{ м} = 10$ м

Ответ: 10 м.

1132. Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения — за 6 ч. За сколько часов проплывает по течению это расстояние плот?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние между пристанями А и В, $v_{т}$ – собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), $v_{р}$ – скорость течения реки. Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя.

Скорость теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = v_{т} + v_{р}$.

Скорость теплохода против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = v_{т} - v_{р}$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время, составим систему уравнений на основе данных из условия задачи.

1. Теплоход проходит расстояние $S$ по течению за 5 часов, следовательно: $S = (v_{т} + v_{р}) \cdot 5$.

2. Он же проходит расстояние $S$ против течения за 6 часов, следовательно: $S = (v_{т} - v_{р}) \cdot 6$.

Из этих уравнений мы можем выразить скорости через расстояние $S$:

Скорость по течению: $v_{т} + v_{р} = \frac{S}{5}$.

Скорость против течения: $v_{т} - v_{р} = \frac{S}{6}$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений. Нам нужно найти время движения плота, а для этого необходимо знать скорость течения $v_{р}$. Чтобы найти $v_{р}$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{т} + v_{р}) - (v_{т} - v_{р}) = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$

Раскрыв скобки и упростив левую часть, и приведя к общему знаменателю правую часть, получаем:

$v_{т} + v_{р} - v_{т} + v_{р} = S \cdot (\frac{6}{30} - \frac{5}{30})$

$2v_{р} = S \cdot \frac{1}{30}$

Отсюда находим скорость течения реки, которая равна скорости плота:

$v_{р} = \frac{S}{2 \cdot 30} = \frac{S}{60}$

Теперь, зная скорость плота ($v_{р}$), мы можем найти время $t_{плота}$, за которое он проплывет расстояние $S$. Используем ту же формулу $t = \frac{S}{v}$:

$t_{плота} = \frac{S}{v_{р}}$

Подставим найденное выражение для $v_{р}$:

$t_{плота} = \frac{S}{S/60} = S \cdot \frac{60}{S} = 60$ часов.

Ответ: 60 часов.

1133. Катер прошёл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывёт плот?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч).
• $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч).
• $t$ — время движения (в часах).

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения. Скорость катера по течению равна $v_к + v_т$. За время $t$ катер прошел по течению 90 км. Мы можем записать это в виде уравнения, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:
$(v_к + v_т) \cdot t = 90$

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Скорость катера против течения равна $v_к - v_т$. За то же время $t$ катер прошел против течения 70 км. Запишем второе уравнение:
$(v_к - v_т) \cdot t = 70$

Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки, то есть $v_т$. Нам необходимо найти расстояние, которое проплывет плот за то же самое время $t$. Обозначим это расстояние $S_{плот}$.
$S_{плот} = v_т \cdot t$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $(v_к + v_т) \cdot t = 90 \implies v_к \cdot t + v_т \cdot t = 90$
2) $(v_к - v_т) \cdot t = 70 \implies v_к \cdot t - v_т \cdot t = 70$

Чтобы найти искомое значение $v_т \cdot t$, можно вычесть второе уравнение из первого:
$(v_к \cdot t + v_т \cdot t) - (v_к \cdot t - v_т \cdot t) = 90 - 70$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$v_к \cdot t + v_т \cdot t - v_к \cdot t + v_т \cdot t = 20$
$2 \cdot (v_т \cdot t) = 20$

Теперь найдем значение произведения $v_т \cdot t$, которое и является расстоянием, пройденным плотом:
$v_т \cdot t = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, расстояние, которое проплывет плот за это время, составляет 10 км.

Ответ: 10 км.

1134. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта $B$. Прибыв в пункты $A$ и $B$, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта $A$. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.

Пусть $S$ - искомое расстояние между пунктами А и В в километрах, $v_A$ - скорость велосипедиста, выехавшего из пункта А, а $v_B$ - скорость велосипедиста, выехавшего из пункта В.

1. Анализ первой встречи
До первой встречи оба велосипедиста были в пути одинаковое время. Встреча произошла в 30 км от пункта В. Это значит, что велосипедист из пункта B проехал 30 км, а велосипедист из пункта А проехал $S - 30$ км. Поскольку время движения одинаково, отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей: $$ \frac{v_A}{v_B} = \frac{S - 30}{30} $$

2. Анализ второй встречи
Рассмотрим суммарное расстояние, которое проехали оба велосипедиста от начала движения до каждой из встреч.

• К моменту первой встречи они, двигаясь навстречу друг другу, вместе преодолели все расстояние между пунктами, то есть их суммарный путь равен $S$.
• К моменту второй встречи каждый из них доехал до противоположного пункта и повернул обратно. Таким образом, они вместе проехали расстояние от А до В трижды. Их суммарный путь равен $3S$.

Поскольку скорости велосипедистов постоянны, время, прошедшее от старта до второй встречи, в три раза больше времени, прошедшего до первой встречи. Следовательно, каждый велосипедист ко второй встрече проехал в три раза большее расстояние, чем к первой.

3. Составление и решение уравнения
Расстояние, которое проехал первый велосипедист (из пункта А) до первой встречи, равно $S_A_1 = S - 30$ км.
Значит, ко второй встрече он проехал расстояние втрое больше: $$ S_A_2 = 3 \cdot S_A_1 = 3(S - 30) $$

С другой стороны, мы можем выразить путь $S_A_2$ из условия задачи. Велосипедист выехал из А, доехал до В (проехав $S$ км), развернулся и поехал обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Значит, на обратном пути от В к А он проехал расстояние $S - 18$ км. Его общий путь: $$ S_A_2 = S + (S - 18) = 2S - 18 $$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $S_A_2$: $$ 3(S - 30) = 2S - 18 $$ $$ 3S - 90 = 2S - 18 $$ $$ 3S - 2S = 90 - 18 $$ $$ S = 72 $$ Таким образом, расстояние между пунктами А и В равно 72 км.

Ответ: 72 км.

1135. Из А в В и из В в А выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ – скорость первого мотоциклиста, который ехал из пункта А в пункт В.
• $v_2$ – скорость второго мотоциклиста, который ехал из пункта В в пункт А.
• $t$ – время (в часах), которое прошло с момента их выезда до момента встречи.

До момента встречи первый мотоциклист проехал расстояние, равное $v_1 \cdot t$. Это та часть пути, которую второму мотоциклисту осталось проехать после встречи.

Аналогично, до момента встречи второй мотоциклист проехал расстояние, равное $v_2 \cdot t$. Это та часть пути, которую первому мотоциклисту осталось проехать после встречи.

Из условия задачи известно, что первый мотоциклист прибыл в В через 2,5 часа после встречи. Это означает, что он проехал расстояние $v_2 \cdot t$ за 2,5 часа. Можем записать первое уравнение:

$v_1 \cdot 2,5 = v_2 \cdot t$

Также известно, что второй мотоциклист прибыл в А через 1,6 часа после встречи. Это означает, что он проехал расстояние $v_1 \cdot t$ за 1,6 часа. Можем записать второе уравнение:

$v_2 \cdot 1,6 = v_1 \cdot t$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1$, $v_2$, $t$). Однако нам не нужно находить сами скорости, а достаточно найти их отношение.

Из первого уравнения выразим отношение $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{2,5}$

Из второго уравнения также выразим отношение $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1,6}{t}$

Теперь мы можем приравнять правые части этих двух выражений, так как их левые части равны:

$\frac{t}{2,5} = \frac{1,6}{t}$

Решим это уравнение относительно $t$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$t \cdot t = 2,5 \cdot 1,6$

$t^2 = 4$

$t = \sqrt{4} = 2$ (время не может быть отрицательным).

Итак, мотоциклисты встретились через 2 часа после выезда.

Теперь найдем общее время, которое каждый мотоциклист был в пути. Общее время в пути складывается из времени до встречи и времени после встречи.

Общее время в пути для первого мотоциклиста:

$T_1 = t + 2,5 = 2 + 2,5 = 4,5$ часа.

Общее время в пути для второго мотоциклиста:

$T_2 = t + 1,6 = 2 + 1,6 = 3,6$ часа.

Ответ: первый мотоциклист был в пути 4,5 часа, а второй мотоциклист — 3,6 часа.

1136. Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?

Пусть $v_1$ – скорость первого автомобиля (из A в B), а $v_2$ – скорость второго автомобиля (из B в A). Пусть $S$ – расстояние между A и B.

Автомобили выехали одновременно и встретились через 3 часа. Это означает, что до момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 3v_1$, а второй – $S_2 = 3v_2$. Вместе они проехали все расстояние $S$, то есть $S = S_1 + S_2 = 3v_1 + 3v_2$.

После встречи первому автомобилю, чтобы прибыть в пункт B, осталось проехать расстояние $S_2 = 3v_2$. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{3v_2}{v_1}$ часа.

Второму автомобилю, чтобы прибыть в пункт A, осталось проехать расстояние $S_1 = 3v_1$. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{3v_1}{v_2}$ часа.

Полное время в пути для первого автомобиля составляет $t_1 = 3 + \frac{3v_2}{v_1}$ часов.

Полное время в пути для второго автомобиля составляет $t_2 = 3 + \frac{3v_1}{v_2}$ часов.

По условию задачи, первый автомобиль пришел в B на 1,1 часа позже, чем второй в A. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 + 1.1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$3 + \frac{3v_2}{v_1} = \left(3 + \frac{3v_1}{v_2}\right) + 1.1$

Упростим уравнение, вычтя 3 из обеих частей:

$\frac{3v_2}{v_1} = \frac{3v_1}{v_2} + 1.1$

Нам нужно найти, во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого, то есть найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$. Обозначим это отношение как $k$: $k = \frac{v_2}{v_1}$. Тогда обратное отношение $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{k}$.

Подставим $k$ в наше уравнение:

$3k = \frac{3}{k} + 1.1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $k$ (так как $k$ не может быть равно нулю, поскольку скорости автомобилей положительны):

$3k^2 = 3 + 1.1k$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3k^2 - 1.1k - 3 = 0$

Чтобы работать с целыми коэффициентами, умножим все уравнение на 10:

$30k^2 - 11k - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-30) = 121 + 3600 = 3721$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_1 = \frac{11 + 61}{2 \cdot 30} = \frac{72}{60} = \frac{12}{10} = 1.2$

$k_2 = \frac{11 - 61}{2 \cdot 30} = \frac{-50}{60} = -\frac{5}{6}$

Поскольку $k$ — это отношение скоростей, оно должно быть положительной величиной. Следовательно, нам подходит только корень $k_1 = 1.2$.

Это означает, что $\frac{v_2}{v_1} = 1.2$.

Ответ: скорость второго автомобиля больше скорости первого в 1,2 раза.