Номер 1129, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1129, страница 256.

1129. Докажите, что функция $y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}$, где $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, линейная.

Для того чтобы доказать, что заданная функция является линейной на указанном промежутке, необходимо ее упростить. Исходная функция:

$y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}$

Рассмотрим выражения под знаками корня. Они представляют собой полные квадраты.

Первое подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x + \sqrt{2})^2$

Второе подкоренное выражение можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходную функцию:

$y = \sqrt{(x + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(x - \sqrt{2})^2}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получим:

$y = |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{2}|$

Теперь раскроем модули с учетом заданного условия $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

1. Рассмотрим выражение $|x + \sqrt{2}|$.

Так как по условию $x \ge -\sqrt{2}$, то, перенеся $\sqrt{2}$ в левую часть, получим $x + \sqrt{2} \ge 0$.

Следовательно, на заданном промежутке выражение под знаком модуля неотрицательно, и модуль раскрывается со знаком плюс:

$|x + \sqrt{2}| = x + \sqrt{2}$

2. Рассмотрим выражение $|x - \sqrt{2}|$.

Так как по условию $x \le \sqrt{2}$, то, перенеся $\sqrt{2}$ в левую часть, получим $x - \sqrt{2} \le 0$.

Следовательно, на заданном промежутке выражение под знаком модуля неположительно, и модуль раскрывается со знаком минус:

$|x - \sqrt{2}| = -(x - \sqrt{2}) = -x + \sqrt{2}$

Подставим раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x + \sqrt{2}) + (-x + \sqrt{2}) = x + \sqrt{2} - x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция принимает вид $y = 2\sqrt{2}$.

Это функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k=0$ и свободный член $b=2\sqrt{2}$. Такая функция является частным случаем линейной функции (постоянная функция), ее график — прямая линия, параллельная оси абсцисс. Следовательно, исходная функция является линейной на заданном промежутке.

Ответ: После преобразования подкоренных выражений в полные квадраты и раскрытия модулей на заданном промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция принимает вид $y = 2\sqrt{2}$, что является уравнением прямой, а значит, функция является линейной. Что и требовалось доказать.