Номер 1125, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1125, страница 255.

1125. Найдите наименьшее значение выражения

$(a - 1)(a - 2)(a - 5)(a - 6) + 9.$

Для нахождения наименьшего значения выражения $(a-1)(a-2)(a-5)(a-6) + 9$ выполним ряд преобразований.

Сначала сгруппируем множители так, чтобы при их попарном перемножении получились одинаковые выражения, содержащие $a^2$ и $a$. Для этого заметим, что суммы свободных членов в парах $(a-1)$ и $(a-6)$, а также $(a-2)$ и $(a-5)$ равны:
$-1 + (-6) = -7$
$-2 + (-5) = -7$

Перегруппируем множители в соответствии с этим наблюдением:
$[(a-1)(a-6)] \cdot [(a-2)(a-5)] + 9$

Теперь раскроем скобки внутри каждой группы:
$(a-1)(a-6) = a^2 - 6a - a + 6 = a^2 - 7a + 6$
$(a-2)(a-5) = a^2 - 5a - 2a + 10 = a^2 - 7a + 10$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 10) + 9$

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $x = a^2 - 7a$. Тогда выражение примет вид:
$(x+6)(x+10) + 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в этом выражении:
$x^2 + 10x + 6x + 60 + 9 = x^2 + 16x + 69$

Мы получили квадратичную функцию от $x$. Ее наименьшее значение можно найти, выделив полный квадрат. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх.
$x^2 + 16x + 69 = (x^2 + 16x + 64) - 64 + 69 = (x+8)^2 + 5$

Наименьшее значение выражения $(x+8)^2$ равно 0, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это значение достигается при $x+8=0$, то есть при $x=-8$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+8)^2 + 5$ равно $0+5=5$.

Теперь необходимо убедиться, что значение $x=-8$ является достижимым для действительного числа $a$. Для этого решим уравнение, полученное из замены:
$a^2 - 7a = -8$
$a^2 - 7a + 8 = 0$

Для проверки существования действительных корней у этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$
Так как $D=17 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что существуют такие значения $a$, при которых $x$ принимает значение $-8$.

Таким образом, наименьшее значение исходного выражения действительно равно 5.

Ответ: 5