Номер 1126, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1126, страница 256.

1126. Сумма квадратов корней уравнения $x^2 + px + 1 = 0$ равна 254. Найдите коэффициент $p$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного уравнения $x^2 + px + 1 = 0$.

По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 254:
$x_1^2 + x_2^2 = 254$.

Для решения используем теорему Виета. Для данного приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) теорема Виета гласит:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся тождеством, следующим из формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим в это тождество известные нам величины: значение суммы квадратов из условия и выражения для суммы и произведения корней из теоремы Виета.
$254 = (-p)^2 - 2 \cdot 1$.

Упростим и решим полученное уравнение относительно $p$:
$254 = p^2 - 2$
$p^2 = 254 + 2$
$p^2 = 256$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим два возможных значения для коэффициента $p$:
$p = \pm\sqrt{256}$
$p = \pm16$.

Ответ: $p = 16$ или $p = -16$.