Номер 1119, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1119, страница 255.

1119. Функция $y$ от $x$ задана формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $ad - bc \neq 0$.

Пусть значениям аргумента $x_1, x_2, x_3$ и $x_4$ соответствуют значения функции $y_1, y_2, y_3$ и $y_4$. Докажите, что

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}$

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что левая часть равна правой. Начнем с преобразования левой части. Выражение, которое нужно доказать, называется инвариантностью двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Сначала найдем общее выражение для разности двух значений функции $y_i - y_j$, где $i$ и $j$ — любые различные индексы из {1, 2, 3, 4}.

По определению функции $y(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, имеем:

$y_i - y_j = \frac{ax_i+b}{cx_i+d} - \frac{ax_j+b}{cx_j+d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(cx_i+d)(cx_j+d)$:

$y_i - y_j = \frac{(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(ax_i+b)(cx_j+d) = acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd$

$(ax_j+b)(cx_i+d) = acx_jx_i + adx_j + bcx_i + bd$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd) - (acx_ix_j + adx_j + bcx_i + bd) = adx_i + bcx_j - adx_j - bcx_i$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы выделить общий множитель $(x_i - x_j)$:

$adx_i - adx_j - bcx_i + bcx_j = ad(x_i - x_j) - bc(x_i - x_j) = (ad-bc)(x_i - x_j)$

Таким образом, мы получили общую формулу для разности значений функции:

$y_i - y_j = \frac{(ad-bc)(x_i - x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства. Знак ":" обозначает деление, поэтому равенство можно переписать в виде:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Рассмотрим первый множитель в левой части, подставив в него полученную формулу для разности:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} = \frac{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}} = \frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(cx_3+d)(cx_2+d)}{(ad-bc)(x_3 - x_2)}$

Сокращая одинаковые множители $(ad-bc)$ и $(cx_3+d)$ (что возможно, так как $ad-bc \ne 0$ и $x_3$ не является полюсом функции), получаем:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}$

Аналогично преобразуем второй множитель в левой части:

$\frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}} = \frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)} \cdot \frac{(cx_4+d)(cx_1+d)}{(ad-bc)(x_4 - x_1)}$

После сокращения $(ad-bc)$ и $(cx_4+d)$ получаем:

$\frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти всю левую часть:

$\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}\right) \cdot \left(\frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$

В этом произведении множители $\frac{cx_2+d}{cx_1+d}$ и $\frac{cx_1+d}{cx_2+d}$ являются взаимно обратными, и их произведение равно 1. Таким образом, вся левая часть упрощается до:

$\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Правая часть исходного равенства после замены знака деления ":" на умножение имеет вид:

$\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Сравнивая преобразованную левую часть и правую часть, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} : \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}$ доказано. Что и требовалось доказать.