Номер 1113, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1113, страница 254.

1113. Найдите все двузначные числа $\overline{ab}$, где $b > a$, при которых значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ равно целому числу.

Обозначим двузначное число $\overline{ab}$ в виде алгебраической суммы $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, а $b$ - цифра единиц.

По условию задачи, $a$ и $b$ являются цифрами, при этом $a$ не может быть нулем. Таким образом, $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ и $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Также задано дополнительное условие $b > a$.

Значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ должно быть целым числом. Запишем это в виде уравнения: $$ \frac{10a + b}{a+b} = k $$ где $k$ - целое число.

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы выделить целую часть: $$ \frac{10a + b}{a+b} = \frac{(a+b) + 9a}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} + \frac{9a}{a+b} = 1 + \frac{9a}{a+b} $$

Для того чтобы выражение $1 + \frac{9a}{a+b}$ было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9a}{a+b}$ также была целым числом. Это означает, что сумма цифр $(a+b)$ должна быть делителем числа $9a$.

Рассмотрим все возможные значения для $a$, учитывая условие $b > a$.

1. Пусть $a = 1$. Тогда $b > 1$, то есть $b \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $1+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 1 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. Так как $b > 1$, то $1+b > 2$.
- Если $1+b = 3$, то $b=2$. Условие $b>a$ (2>1) выполнено. Получаем число 12. Проверка: $\frac{12}{1+2} = \frac{12}{3} = 4$. Подходит.
- Если $1+b = 9$, то $b=8$. Условие $b>a$ (8>1) выполнено. Получаем число 18. Проверка: $\frac{18}{1+8} = \frac{18}{9} = 2$. Подходит.

2. Пусть $a = 2$. Тогда $b > 2$, то есть $b \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $2+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 2 = 18$. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Так как $b > 2$, то $2+b > 4$.
- Если $2+b = 6$, то $b=4$. Условие $b>a$ (4>2) выполнено. Получаем число 24. Проверка: $\frac{24}{2+4} = \frac{24}{6} = 4$. Подходит.
- Если $2+b = 9$, то $b=7$. Условие $b>a$ (7>2) выполнено. Получаем число 27. Проверка: $\frac{27}{2+7} = \frac{27}{9} = 3$. Подходит.
- Если $2+b = 18$, то $b=16$, что не является цифрой.

3. Пусть $a = 3$. Тогда $b > 3$, то есть $b \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $3+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 3 = 27$. Делители числа 27: 1, 3, 9, 27. Так как $b > 3$, то $3+b > 6$.
- Если $3+b = 9$, то $b=6$. Условие $b>a$ (6>3) выполнено. Получаем число 36. Проверка: $\frac{36}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$. Подходит.
- Если $3+b = 27$, то $b=24$, что не является цифрой.

4. Пусть $a = 4$. Тогда $b > 4$, то есть $b \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $4+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 4 = 36$. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Так как $b > 4$, то $4+b > 8$.
- Если $4+b = 9$, то $b=5$. Условие $b>a$ (5>4) выполнено. Получаем число 45. Проверка: $\frac{45}{4+5} = \frac{45}{9} = 5$. Подходит.
- Если $4+b = 12$, то $b=8$. Условие $b>a$ (8>4) выполнено. Получаем число 48. Проверка: $\frac{48}{4+8} = \frac{48}{12} = 4$. Подходит.
- Если $4+b = 18$, то $b=14$, что не является цифрой.

5. Пусть $a = 5$. Тогда $b > 5$, то есть $b \in \{6, 7, 8, 9\}$. Сумма $5+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 5 = 45$. Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Так как $b > 5$, то $5+b > 10$.
- Если $5+b = 15$, то $b=10$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

6. Пусть $a = 6$. Тогда $b > 6$, то есть $b \in \{7, 8, 9\}$. Сумма $6+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 6 = 54$. Делители числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Так как $b > 6$, то $6+b > 12$.
- Если $6+b = 18$, то $b=12$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

7. Пусть $a = 7$. Тогда $b > 7$, то есть $b \in \{8, 9\}$. Сумма $7+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 7 = 63$. Делители числа 63: 1, 3, 7, 9, 21, 63. Так как $b > 7$, то $7+b > 14$.
- Если $7+b = 21$, то $b=14$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

8. Пусть $a = 8$. Тогда $b > 8$, то есть $b = 9$. Сумма $a+b = 8+9=17$. Число $9a = 9 \cdot 8 = 72$. Число 17 не является делителем 72. Решений нет.

9. Пусть $a = 9$. Тогда $b > 9$. Таких цифр $b$ не существует.

Таким образом, мы нашли все двузначные числа, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.