Номер 1110, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1110, страница 254.

1110. Какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$?

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$, необходимо определить последнюю цифру каждого из слагаемых и затем найти последнюю цифру их суммы.

Определение последней цифры числа $54^{35}$

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, последняя цифра числа $54^{35}$ будет такой же, как и у числа $4^{35}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 4:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16 \rightarrow 6$
• $4^3 = 64 \rightarrow 4$
• $4^4 = 256 \rightarrow 6$

Видно, что последние цифры образуют цикл (4, 6). Если показатель степени нечетный, последняя цифра — 4. Если четный — 6. Поскольку в выражении $4^{35}$ показатель степени 35 нечетный, то число $54^{35}$ оканчивается на цифру 4.

Определение последней цифры числа $28^{21}$

Аналогично, последняя цифра числа $28^{21}$ совпадает с последней цифрой числа $8^{21}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 8:

• $8^1 = 8$
• $8^2 = 64 \rightarrow 4$
• $8^3 = 512 \rightarrow 2$
• $8^4 = 4096 \rightarrow 6$
• $8^5 = 32768 \rightarrow 8$

Здесь последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $8^{21}$, найдем остаток от деления показателя степени 21 на длину цикла 4.

$21 \div 4 = 5$ и остаток $1$.

Остаток 1 соответствует первому элементу в цикле, то есть цифре 8. Значит, число $28^{21}$ оканчивается на 8.

Определение последней цифры итоговой суммы

Последняя цифра суммы $54^{35} + 28^{21}$ равна последней цифре суммы их последних цифр.

Складываем найденные последние цифры: $4 + 8 = 12$.

Последняя цифра числа 12 — это 2.

Ответ: 2