Номер 1108, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1108, страница 254.

1108. Докажите, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней, необходимо показать, что при любом $x < 0$ левая часть уравнения не обращается в ноль.

Предположим, что $x$ является отрицательным корнем. Тогда его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - 5(-a)^3 - 4(-a)^2 - 7(-a) + 4 = 0$

После упрощения получим:

$a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4 = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что это новое уравнение не имеет решений для $a > 0$. Для этого покажем, что левая часть уравнения, обозначим её как $g(a)$, всегда строго положительна при $a > 0$.

$g(a) = a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4$

Рассмотрим два возможных случая для значений $a$.

Случай 1: $0 < a < 1$

Сгруппируем слагаемые в выражении $g(a)$ следующим образом: $g(a) = a^4 + 5a^3 + 7a + 4(1 - a^2)$.

Поскольку $a > 0$, слагаемые $a^4$, $5a^3$ и $7a$ являются положительными. Из условия $0 < a < 1$ следует, что $0 < a^2 < 1$, а значит $1 - a^2 > 0$. Поэтому слагаемое $4(1 - a^2)$ также положительно. Выражение $g(a)$ является суммой положительных чисел, следовательно, $g(a) > 0$.

Случай 2: $a \ge 1$

Сгруппируем слагаемые в выражении $g(a)$ по-другому: $g(a) = a^4 + a^2(5a - 4) + 7a + 4$.

Поскольку $a \ge 1$, слагаемые $a^4$, $7a$ и $4$ очевидно положительны. Рассмотрим выражение $5a - 4$. Так как $a \ge 1$, то $5a \ge 5$, и $5a - 4 \ge 5 - 4 = 1 > 0$. Следовательно, слагаемое $a^2(5a - 4)$ является произведением положительных множителей ($a^2 > 0$ и $5a-4 > 0$), значит, оно также положительно. Выражение $g(a)$ является суммой положительных чисел, следовательно, $g(a) > 0$.

Таким образом, мы показали, что для любого $a > 0$ (объединяя оба случая) значение выражения $g(a) = a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4$ строго положительно. Следовательно, уравнение $g(a) = 0$ не имеет положительных решений.

Это означает, что наше исходное предположение о существовании отрицательного корня $x$ было неверным. Таким образом, доказано, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.

Ответ: Поскольку было показано, что для любого отрицательного $x$ левая часть уравнения строго положительна, уравнение не может иметь отрицательных корней.