Номер 1106, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1106, страница 254.

1106. Сократите дробь:

a) $\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3}$;

б) $\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n}$.

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим числитель $ x^4 + a^2x^2 + a^4 $. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата суммы $ (x^2+a^2)^2 $, прибавив и отняв $ a^2x^2 $:

$ x^4 + a^2x^2 + a^4 = (x^4 + 2a^2x^2 + a^4) - a^2x^2 $

Теперь выражение можно представить в виде разности квадратов:

$ (x^2 + a^2)^2 - (ax)^2 $

Применяем формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $:

$ (x^2 + a^2 - ax)(x^2 + a^2 + ax) = (x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2) $

Теперь разложим на множители знаменатель $ x^3 + a^3 $. Это формула суммы кубов $ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) $:

$ x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) $

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{(x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)}{(x + a)(x^2 - ax + a^2)} $

Сокращаем общий множитель $ (x^2 - ax + a^2) $:

$ \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a} $

Ответ: $ \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a} $

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе $ 8a^{n+2} + a^{n-1} $ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $ a^{n-1} $:

$ a^{n-1}(8a^{(n+2)-(n-1)} + 1) = a^{n-1}(8a^3 + 1) $

Выражение в скобках $ 8a^3 + 1 $ — это сумма кубов $ (2a)^3 + 1^3 $. Разложим по формуле:

$ a^{n-1}(2a + 1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2) = a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1) $

В знаменателе $ 16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n $ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $ a^n $:

$ a^n(16a^{(n+4)-n} + 4a^{(n+2)-n} + 1) = a^n(16a^4 + 4a^2 + 1) $

Выражение в скобках $ 16a^4 + 4a^2 + 1 $ разложим на множители, выделив полный квадрат:

$ a^n((16a^4 + 8a^2 + 1) - 4a^2) = a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2) $

Применив формулу разности квадратов, получим:

$ a^n(4a^2 + 1 - 2a)(4a^2 + 1 + 2a) = a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1) $

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}{a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)} $

Сокращаем общие множители $ (4a^2 - 2a + 1) $ и степени переменной $ a $:

$ \frac{a^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{2a + 1}{a(4a^2 + 2a + 1)} $

Раскроем скобки в знаменателе для окончательного вида:

$ \frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a} $

Ответ: $ \frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a} $