Номер 1102, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1102, страница 252.

1102. Проведя подсчёт числа орфографических ошибок, допущенных учащимися, составили таблицу частот, в которой три числа оказались стёртыми.

Число ошибок Частота

0 4

1 —

2 —

3 —

4 7

5 4

Восстановите их, зная, что среднее из этих чисел на 4 больше предыдущего и на 3 меньше последующего, а в среднем учащиеся допустили по 2,5 ошибки.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.

Чему равен размах этого ряда данных?

Восстановите их

Пусть стёртые частоты, соответствующие 1, 2 и 3 ошибкам, равны $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Из условия, что "среднее из этих чисел на 4 больше предыдущего и на 3 меньше последующего", мы можем составить систему уравнений. Если предположить, что числа идут в порядке $x, y, z$, то $y$ — среднее число.
$y = x + 4$
$y = z - 3$
Из этих уравнений выразим $x$ и $z$ через $y$:
$x = y - 4$
$z = y + 3$
Второе условие гласит, что в среднем учащиеся допустили по 2,5 ошибки. Среднее значение для ряда данных, представленного таблицей частот, вычисляется по формуле:
$\bar{A} = \frac{\text{сумма всех значений}}{\text{количество всех значений}} = \frac{\sum (k_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$
где $k_i$ — число ошибок, а $f_i$ — соответствующая частота.
Составим уравнение на основе данных из таблицы и наших переменных:
$\frac{(0 \cdot 4) + (1 \cdot x) + (2 \cdot y) + (3 \cdot z) + (4 \cdot 7) + (5 \cdot 4)}{4 + x + y + z + 7 + 4} = 2.5$
Упростим числитель и знаменатель:
$\frac{0 + x + 2y + 3z + 28 + 20}{x + y + z + 15} = 2.5$
$\frac{x + 2y + 3z + 48}{x + y + z + 15} = 2.5$
Теперь подставим выражения для $x$ и $z$ через $y$ в это уравнение:
$\frac{(y - 4) + 2y + 3(y + 3) + 48}{(y - 4) + y + (y + 3) + 15} = 2.5$
Снова упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $y - 4 + 2y + 3y + 9 + 48 = 6y + 53$
Знаменатель: $y - 4 + y + y + 3 + 15 = 3y + 14$
Получаем уравнение с одной переменной $y$:
$\frac{6y + 53}{3y + 14} = 2.5$
$6y + 53 = 2.5 \cdot (3y + 14)$
$6y + 53 = 7.5y + 35$
$53 - 35 = 7.5y - 6y$
$18 = 1.5y$
$y = \frac{18}{1.5} = 12$
Теперь найдем значения $x$ и $z$:
$x = y - 4 = 12 - 4 = 8$
$z = y + 3 = 12 + 3 = 15$
Таким образом, восстановленные частоты: для 1 ошибки — 8, для 2 ошибок — 12, для 3 ошибок — 15.

Ответ: Частота для 1 ошибки - 8, для 2 ошибок - 12, для 3 ошибок - 15.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. В нашем случае это число ошибок, которому соответствует наибольшая частота.
Восстановленная таблица частот:
Число ошибок 0, частота 4
Число ошибок 1, частота 8
Число ошибок 2, частота 12
Число ошибок 3, частота 15
Число ошибок 4, частота 7
Число ошибок 5, частота 4
Наибольшая частота — 15. Она соответствует 3 ошибкам. Следовательно, мода данного ряда данных равна 3.

Ответ: 3.

Чему равен размах этого ряда данных?

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого ряда.
Значениями в нашем ряду являются количества ошибок: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Наибольшее значение ряда: $5$.
Наименьшее значение ряда: $0$.
Размах = $5 - 0 = 5$.

Ответ: 5.