Страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1101. Проведя учёт бракованных деталей в контрольной партии ящиков, составили таблицу, в которой два числа оказались стёртыми.

Число бракованных деталей | Число ящиков

0 | 12

1 | 28

2 | —

3 | —

4 | 7

5 | 2

Восстановите их, зная, что ящиков с двумя бракованными деталями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя бракованными деталями, а в среднем в каждом ящике было по 1,85 бракованной детали.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.

Чему равен размах этого ряда данных?

Восстановите их, зная, что ящиков с двумя бракованными деталями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя бракованными деталями, а в среднем в каждом ящике было по 1,85 бракованной детали.

Для решения задачи введем переменные. Пусть y — число ящиков с двумя бракованными деталями, а z — число ящиков с тремя бракованными деталями.

Согласно первому условию, ящиков с двумя деталями вдвое больше, чем с тремя. Это дает нам первое уравнение:

$y = 2z$

Второе условие гласит, что среднее число бракованных деталей в одном ящике равно 1,85. Среднее арифметическое для такого ряда данных вычисляется по формуле:

Среднее = $\frac{\text{Сумма всех бракованных деталей}}{\text{Общее число ящиков}} = \frac{\sum(x \cdot f)}{\sum f}$

где x — значение (число деталей), а f — его частота (число ящиков).

Найдем сумму частот $\sum f$ — общее количество ящиков:

$\sum f = 12 + 28 + y + z + 7 + 2 = 49 + y + z$

Найдем сумму произведений значений на их частоты $\sum(x \cdot f)$ — общее количество бракованных деталей:

$\sum (x \cdot f) = (0 \cdot 12) + (1 \cdot 28) + (2 \cdot y) + (3 \cdot z) + (4 \cdot 7) + (5 \cdot 2)$

$\sum (x \cdot f) = 0 + 28 + 2y + 3z + 28 + 10 = 66 + 2y + 3z$

Теперь можем составить второе уравнение, подставив найденные выражения и известное среднее значение:

$1,85 = \frac{66 + 2y + 3z}{49 + y + z}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y = 2z \\ 1,85 = \frac{66 + 2y + 3z}{49 + y + z} \end{cases}$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$1,85 = \frac{66 + 2(2z) + 3z}{49 + (2z) + z}$

$1,85 = \frac{66 + 4z + 3z}{49 + 3z}$

$1,85 = \frac{66 + 7z}{49 + 3z}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти z:

$1,85 \cdot (49 + 3z) = 66 + 7z$

$1,85 \cdot 49 + 1,85 \cdot 3z = 66 + 7z$

$90,65 + 5,55z = 66 + 7z$

$90,65 - 66 = 7z - 5,55z$

$24,65 = 1,45z$

$z = \frac{24,65}{1,45} = 17$

Мы нашли, что число ящиков с тремя бракованными деталями равно 17. Теперь найдем y:

$y = 2z = 2 \cdot 17 = 34$

Итак, число ящиков с двумя бракованными деталями равно 34.

Ответ: число ящиков с 2 бракованными деталями — 34; число ящиков с 3 бракованными деталями — 17.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего. В данном случае это число бракованных деталей, которое соответствует наибольшему числу ящиков. После восстановления данных частоты распределились следующим образом: 0 деталей - 12 ящиков; 1 деталь - 28 ящиков; 2 детали - 34 ящика; 3 детали - 17 ящиков; 4 детали - 7 ящиков; 5 деталей - 2 ящика. Наибольшая частота — 34, она соответствует 2 бракованным деталям. Следовательно, мода данного ряда равна 2.

Ответ: 2.

Чему равен размах этого ряда данных?

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Ряд данных представлен значениями из столбца "Число бракованных деталей": 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наибольшее значение в этом ряду равно 5, а наименьшее — 0.

Размах = $5 - 0 = 5$.

Ответ: 5.

1102. Проведя подсчёт числа орфографических ошибок, допущенных учащимися, составили таблицу частот, в которой три числа оказались стёртыми.

Число ошибок Частота

0 4

1 —

2 —

3 —

4 7

5 4

Восстановите их, зная, что среднее из этих чисел на 4 больше предыдущего и на 3 меньше последующего, а в среднем учащиеся допустили по 2,5 ошибки.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.

Чему равен размах этого ряда данных?

Восстановите их

Пусть стёртые частоты, соответствующие 1, 2 и 3 ошибкам, равны $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Из условия, что "среднее из этих чисел на 4 больше предыдущего и на 3 меньше последующего", мы можем составить систему уравнений. Если предположить, что числа идут в порядке $x, y, z$, то $y$ — среднее число.
$y = x + 4$
$y = z - 3$
Из этих уравнений выразим $x$ и $z$ через $y$:
$x = y - 4$
$z = y + 3$
Второе условие гласит, что в среднем учащиеся допустили по 2,5 ошибки. Среднее значение для ряда данных, представленного таблицей частот, вычисляется по формуле:
$\bar{A} = \frac{\text{сумма всех значений}}{\text{количество всех значений}} = \frac{\sum (k_i \cdot f_i)}{\sum f_i}$
где $k_i$ — число ошибок, а $f_i$ — соответствующая частота.
Составим уравнение на основе данных из таблицы и наших переменных:
$\frac{(0 \cdot 4) + (1 \cdot x) + (2 \cdot y) + (3 \cdot z) + (4 \cdot 7) + (5 \cdot 4)}{4 + x + y + z + 7 + 4} = 2.5$
Упростим числитель и знаменатель:
$\frac{0 + x + 2y + 3z + 28 + 20}{x + y + z + 15} = 2.5$
$\frac{x + 2y + 3z + 48}{x + y + z + 15} = 2.5$
Теперь подставим выражения для $x$ и $z$ через $y$ в это уравнение:
$\frac{(y - 4) + 2y + 3(y + 3) + 48}{(y - 4) + y + (y + 3) + 15} = 2.5$
Снова упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $y - 4 + 2y + 3y + 9 + 48 = 6y + 53$
Знаменатель: $y - 4 + y + y + 3 + 15 = 3y + 14$
Получаем уравнение с одной переменной $y$:
$\frac{6y + 53}{3y + 14} = 2.5$
$6y + 53 = 2.5 \cdot (3y + 14)$
$6y + 53 = 7.5y + 35$
$53 - 35 = 7.5y - 6y$
$18 = 1.5y$
$y = \frac{18}{1.5} = 12$
Теперь найдем значения $x$ и $z$:
$x = y - 4 = 12 - 4 = 8$
$z = y + 3 = 12 + 3 = 15$
Таким образом, восстановленные частоты: для 1 ошибки — 8, для 2 ошибок — 12, для 3 ошибок — 15.

Ответ: Частота для 1 ошибки - 8, для 2 ошибок - 12, для 3 ошибок - 15.

Для рассматриваемого ряда данных укажите моду

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается наиболее часто. В нашем случае это число ошибок, которому соответствует наибольшая частота.
Восстановленная таблица частот:
Число ошибок 0, частота 4
Число ошибок 1, частота 8
Число ошибок 2, частота 12
Число ошибок 3, частота 15
Число ошибок 4, частота 7
Число ошибок 5, частота 4
Наибольшая частота — 15. Она соответствует 3 ошибкам. Следовательно, мода данного ряда данных равна 3.

Ответ: 3.

Чему равен размах этого ряда данных?

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого ряда.
Значениями в нашем ряду являются количества ошибок: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Наибольшее значение ряда: $5$.
Наименьшее значение ряда: $0$.
Размах = $5 - 0 = 5$.

Ответ: 5.

1103. По данным таблицы распределения призывников по росту, представленной в упражнении 1053, составьте новую таблицу с интервалом в 10 см.

Для того чтобы составить новую таблицу распределения призывников по росту с интервалом в 10 см, необходимо сгруппировать данные из исходной таблицы, представленной в упражнении 1053. Исходные данные содержат информацию о росте призывников в диапазоне от 156 см до 186 см.

Мы разделим весь диапазон на интервалы шириной 10 см и подсчитаем, сколько призывников попадает в каждый из них, суммируя соответствующие частоты из начальной таблицы.

1. Интервал роста 155–164 см. В этот интервал попадают призывники с ростом от 156 см до 164 см включительно. Суммируем их количество: $1 + 1 + 2 + 1 + 4 + 4 + 6 + 6 + 8 = 33$ человека.

2. Интервал роста 165–174 см. В этот интервал попадают призывники с ростом от 165 см до 174 см включительно. Суммируем их количество: $10 + 12 + 10 + 15 + 13 + 18 + 16 + 14 + 11 + 9 = 128$ человек.

3. Интервал роста 175–184 см. В этот интервал попадают призывники с ростом от 175 см до 184 см включительно. Суммируем их количество: $8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 37$ человек.

4. Интервал роста 185–194 см. В этот интервал попадают призывники с ростом от 185 см до 186 см включительно. Суммируем их количество: $1 + 1 = 2$ человека.

Для проверки правильности расчетов сложим количество призывников во всех интервалах: $33 + 128 + 37 + 2 = 200$. Это число совпадает с общим количеством призывников в исходных данных.

На основе полученных данных составим новую таблицу.

Ответ: