Страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1137. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на $7 \frac{1}{3}$ ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?

Пусть первый самосвал может вывезти всю руду за $x$ часов.

По условию, первый самосвал выполняет эту работу на 3 часа быстрее, чем второй. Следовательно, второй самосвал может вывезти всю руду за $(x+3)$ часов.

Производительность (скорость работы) первого самосвала составляет $v_1 = \frac{1}{x}$ часть всей работы в час.

Производительность второго самосвала составляет $v_2 = \frac{1}{x+3}$ часть всей работы в час.

Рассмотрим два сценария, описанных в задаче.

1. Последовательная работа.

Сначала первый самосвал вывозит треть руды ($\frac{1}{3}$ всей работы). Время, затраченное на это, равно:$T_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ часов.

Затем второй самосвал вывозит оставшуюся часть руды ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ всей работы). Время, затраченное на это, равно:$T_2 = \frac{2/3}{1/(x+3)} = \frac{2(x+3)}{3}$ часов.

Общее время при последовательной работе:$T_{посл} = T_1 + T_2 = \frac{x}{3} + \frac{2(x+3)}{3} = \frac{x + 2x + 6}{3} = \frac{3x+6}{3} = x+2$ часов.

2. Одновременная работа.

При одновременной работе их общая производительность составляет:$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{x+3+x}{x(x+3)} = \frac{2x+3}{x(x+3)}$.

Время, за которое они вместе вывезут всю руду:$T_{совм} = \frac{1}{v_{общ}} = \frac{1}{\frac{2x+3}{x(x+3)}} = \frac{x(x+3)}{2x+3}$ часов.

Составление и решение уравнения.

По условию, при последовательной работе было затрачено на $7\frac{1}{3}$ часа больше, чем при одновременной.$7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.

Составим уравнение:$T_{посл} = T_{совм} + \frac{22}{3}$$x+2 = \frac{x(x+3)}{2x+3} + \frac{22}{3}$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы избавиться от дробей. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(2x+3)$, при условии что $2x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -1.5$. Так как $x$ - время, оно должно быть положительным, поэтому это условие выполняется.

$3(2x+3)(x+2) = 3(2x+3)\frac{x(x+3)}{2x+3} + 3(2x+3)\frac{22}{3}$$3(2x^2 + 4x + 3x + 6) = 3x(x+3) + 22(2x+3)$$3(2x^2 + 7x + 6) = 3x^2 + 9x + 44x + 66$$6x^2 + 21x + 18 = 3x^2 + 53x + 66$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$6x^2 - 3x^2 + 21x - 53x + 18 - 66 = 0$$3x^2 - 32x - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 1024 + 576 = 1600$$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 40}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 40}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Так как время $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию задачи.Следовательно, время, за которое первый самосвал может вывезти всю руду, равно 12 часам.

Время, за которое второй самосвал может вывезти всю руду:$x+3 = 12+3 = 15$ часов.

Ответ: первый самосвал может вывезти руду за 12 часов, а второй — за 15 часов.

1138. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Для решения задачи введем переменные. Пусть время, за которое второй слесарь может выполнить все задание в одиночку, равно $x$ часов. Согласно условию, первому слесарю на выполнение того же задания понадобится на 7 часов больше, то есть $(x+7)$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) — это объем работы, деленный на время. Примем всю работу за 1 единицу.
Тогда производительность первого слесаря составляет $p_1 = \frac{1}{x+7}$ (часть задания в час).
Производительность второго слесаря составляет $p_2 = \frac{1}{x}$ (часть задания в час).

Найдем время, за которое слесари выполнили бы всю работу вместе

При совместной работе их производительности складываются:
$p_{общая} = p_1 + p_2 = \frac{1}{x+7} + \frac{1}{x} = \frac{x + (x+7)}{x(x+7)} = \frac{2x+7}{x(x+7)}$.
Время, необходимое для выполнения всей работы вместе, равно:
$T_{вместе} = \frac{1}{p_{общая}} = \frac{x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Найдем фактическое время выполнения задания по условию

По условию, сначала оба слесаря выполнили половину задания. Время, затраченное на это, равно:
$T_{половина\_вместе} = \frac{0.5}{p_{общая}} = 0.5 \cdot T_{вместе} = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7}$.
Оставшуюся половину задания ($0.5$) доделывал только второй слесарь. Время, которое он на это потратил:
$T_{половина\_второй} = \frac{0.5}{p_2} = \frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов.
Общее фактическое время выполнения задания составило:
$T_{факт} = T_{половина\_вместе} + T_{половина\_второй} = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 0.5x$.

Составим и решим уравнение

По условию, фактическое время оказалось на 4,5 часа больше, чем время, за которое они выполнили бы всю работу вместе:
$T_{факт} = T_{вместе} + 4.5$
Подставим полученные выражения:
$\frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 0.5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
Перенесем слагаемое с $T_{вместе}$ в правую часть:
$0.5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} - \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
$0.5x = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей 0.5:
$x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 9$
$x - 9 = \frac{x^2+7x}{2x+7}$
Умножим обе части на $(2x+7)$, при условии, что $x > 0$:
$(x-9)(2x+7) = x^2+7x$
$2x^2 + 7x - 18x - 63 = x^2+7x$
$2x^2 - 11x - 63 = x^2+7x$
Приведем подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 18x - 63 = 0$
Решим уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно -63. Подходят числа 21 и -3.
$x_1 = 21$, $x_2 = -3$.
Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи.

Найдем время выполнения задания для каждого слесаря

Время второго слесаря: $x = 21$ час.
Время первого слесаря: $x+7 = 21+7 = 28$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 28 часов, а второй — за 21 час.

1139. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.

Пусть $x$ — цифра десятков искомого двузначного числа, а $y$ — цифра его единиц. Тогда само число можно представить в виде $10x + y$. Поскольку $x$ — цифра десятков, она может принимать значения от 1 до 9, а $y$ — цифра единиц, ее значения могут быть от 0 до 9.

По первому условию задачи, число единиц на 3 меньше числа десятков. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x - 3$

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет иметь $y$ десятков и $x$ единиц, то есть его можно представить как $10y + x$.

По второму условию, произведение исходного числа и числа, записанного в обратном порядке, равно 574. Составим второе уравнение:

$(10x + y)(10y + x) = 574$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574$

Упростим выражения в скобках:

$(11x - 3)(10x - 30 + x) = 574$

$(11x - 3)(11x - 30) = 574$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:

$121x^2 - 330x - 33x + 90 = 574$

$121x^2 - 363x + 90 - 574 = 0$

$121x^2 - 363x - 484 = 0$

Заметим, что все коэффициенты этого уравнения ($121$, $-363$, $-484$) делятся на 121. Разделим обе части уравнения на 121 для его упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Так как $x$ — это цифра десятков двузначного числа, она должна быть целым положительным числом. Поэтому корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Единственный подходящий корень — $x = 4$. Это цифра десятков.

Теперь найдем цифру единиц $y$, используя первое уравнение:

$y = x - 3 = 4 - 3 = 1$

Итак, искомое число имеет 4 десятка и 1 единицу. Это число 41.

Проверим найденное решение. Число единиц (1) на 3 меньше числа десятков (4), что соответствует условию. Произведение числа 41 и обратного ему числа 14 равно $41 \cdot 14 = 574$, что также соответствует условию.

Ответ: 41.

1140. Найдите члены пропорции $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

Обозначим члены пропорции как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

• $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$
• $x_1 = x_2 + 6$
• $x_3 = x_4 + 5$
• $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$

Из основного свойства пропорции $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$ следует, что $x_1 \cdot x_4 = x_2 \cdot x_3$. Подставим в это равенство выражения для $x_1$ и $x_3$ из второго и третьего уравнений системы:

$(x_2 + 6) \cdot x_4 = x_2 \cdot (x_4 + 5)$

Раскроем скобки:

$x_2 x_4 + 6x_4 = x_2 x_4 + 5x_2$

Вычтем $x_2 x_4$ из обеих частей уравнения:

$6x_4 = 5x_2$

Отсюда выразим $x_4$ через $x_2$:

$x_4 = \frac{5}{6}x_2$

Теперь мы можем выразить все члены пропорции через $x_2$:

• $x_1 = x_2 + 6$
• $x_2 = x_2$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2$
• $x_3 = x_4 + 5 = \frac{5}{6}x_2 + 5$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$

$(x_2 + 6)^2 + x_2^2 + (\frac{5}{6}x_2 + 5)^2 + (\frac{5}{6}x_2)^2 = 793$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x_2^2 + 12x_2 + 36) + x_2^2 + (\frac{25}{36}x_2^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x_2 \cdot 5 + 25) + \frac{25}{36}x_2^2 = 793$

$x_2^2 + 12x_2 + 36 + x_2^2 + \frac{25}{36}x_2^2 + \frac{50}{6}x_2 + 25 + \frac{25}{36}x_2^2 = 793$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 + 1 + \frac{25}{36} + \frac{25}{36})x_2^2 + (12 + \frac{50}{6})x_2 + (36 + 25) = 793$

$(2 + \frac{50}{36})x_2^2 + (12 + \frac{25}{3})x_2 + 61 = 793$

$(\frac{72}{36} + \frac{50}{36})x_2^2 + (\frac{36}{3} + \frac{25}{3})x_2 + 61 = 793$

$\frac{122}{36}x_2^2 + \frac{61}{3}x_2 + 61 = 793$

$\frac{61}{18}x_2^2 + \frac{61}{3}x_2 - 732 = 0$

Разделим все уравнение на 61 (так как $732 = 61 \cdot 12$):

$\frac{1}{18}x_2^2 + \frac{1}{3}x_2 - 12 = 0$

Умножим все уравнение на 18, чтобы избавиться от дробей:

$x_2^2 + 6x_2 - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем корни уравнения:

$x_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Получили два возможных значения для $x_2$. Найдем соответствующие значения для остальных членов пропорции для каждого случая.

Случай 1: $x_2 = 12$

• $x_1 = x_2 + 6 = 12 + 6 = 18$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2 = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10$
• $x_3 = x_4 + 5 = 10 + 5 = 15$

Получаем набор членов: 18, 12, 15, 10. Проверим пропорцию: $18:12 = 3:2$ и $15:10 = 3:2$. Проверим сумму квадратов: $18^2 + 12^2 + 15^2 + 10^2 = 324 + 144 + 225 + 100 = 793$. Этот набор является решением.

Случай 2: $x_2 = -18$

• $x_1 = x_2 + 6 = -18 + 6 = -12$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2 = \frac{5}{6} \cdot (-18) = -15$
• $x_3 = x_4 + 5 = -15 + 5 = -10$

Получаем набор членов: -12, -18, -10, -15. Проверим пропорцию: $(-12):(-18) = 2:3$ и $(-10):(-15) = 2:3$. Проверим сумму квадратов: $(-12)^2 + (-18)^2 + (-10)^2 + (-15)^2 = 144 + 324 + 100 + 225 = 793$. Этот набор также является решением.

Ответ: Существуют два набора членов пропорции, удовлетворяющих условиям задачи: 18, 12, 15, 10 и -12, -18, -10, -15.

1141. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км?

Пусть город находится в начале координат (0,0). Так как дороги взаимно перпендикулярны, мы можем расположить их вдоль осей координат. Пусть первый пешеход движется вдоль оси Ox, а второй — вдоль оси Oy.

Начальные условия (в момент времени $t=0$):

• Скорость первого пешехода: $v_1 = 4$ км/ч.
• Скорость второго пешехода: $v_2 = 5$ км/ч.
• Текущее расстояние первого пешехода от города: $d_{1,0} = 7$ км.
• Текущее расстояние второго пешехода от города: $d_{2,0} = 10$ км.

Пусть $t$ — это время в часах, которое пройдет с текущего момента. Через время $t$ расстояние каждого пешехода от города будет:

• Для первого пешехода: $d_1(t) = d_{1,0} + v_1 \cdot t = 7 + 4t$ км.
• Для второго пешехода: $d_2(t) = d_{2,0} + v_2 \cdot t = 10 + 5t$ км.

Поскольку пешеходы движутся по перпендикулярным дорогам, расстояние между ними $D$ можно найти по теореме Пифагора, где $d_1(t)$ и $d_2(t)$ являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние $D$ — его гипотенузой.

$D^2 = (d_1(t))^2 + (d_2(t))^2$

Мы ищем время $t$, когда расстояние между пешеходами будет равно 25 км. Подставим известные значения в уравнение:

$25^2 = (7 + 4t)^2 + (10 + 5t)^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$625 = (49 + 2 \cdot 7 \cdot 4t + 16t^2) + (100 + 2 \cdot 10 \cdot 5t + 25t^2)$

$625 = (49 + 56t + 16t^2) + (100 + 100t + 25t^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$625 = (16t^2 + 25t^2) + (56t + 100t) + (49 + 100)$

$625 = 41t^2 + 156t + 149$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$:

$41t^2 + 156t + 149 - 625 = 0$

$41t^2 + 156t - 476 = 0$

Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 156^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-476) = 24336 + 78064 = 102400$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{102400} = 320$

$t_1 = \frac{-156 + 320}{2 \cdot 41} = \frac{164}{82} = 2$

$t_2 = \frac{-156 - 320}{2 \cdot 41} = \frac{-476}{82}$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2$ не является решением задачи. Следовательно, искомое время равно 2 часам.

Ответ: через 2 часа.

1142. Докажите, что если $a + c = 2b$ и $2bd = c(b + d)$, причём $b \neq 0$ и $d \neq 0$, то $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

По условию задачи нам даны два равенства: $a + c = 2b$ и $2bd = c(b + d)$, причём $b \neq 0$ и $d \neq 0$. Требуется доказать, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнём с преобразования первого равенства $a + c = 2b$. Умножим обе части этого равенства на $d$. Так как по условию $d \neq 0$, это является равносильным преобразованием.

$(a + c)d = 2bd$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ad + cd = 2bd$

Теперь воспользуемся вторым данным нам равенством $2bd = c(b + d)$. Подставим выражение $c(b + d)$ вместо $2bd$ в полученное нами уравнение:

$ad + cd = c(b + d)$

Раскроем скобки в правой части:

$ad + cd = cb + cd$

Теперь вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $cd$:

$ad = cb$

Поскольку по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, мы имеем право разделить обе части равенства $ad = cb$ на произведение $bd$.

$\frac{ad}{bd} = \frac{cb}{bd}$

Сократив дроби в левой и правой частях, получим:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Утверждение доказано.

1143. Постройте график функции, заданной формулой $y = - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ необходимо проанализировать ее свойства, найти несколько ключевых точек и на их основе построить кривую.

1. Анализ функции

Область определения функции (ОДЗ):
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений функции:
Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным. Значит, дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ также всегда положительна. Из-за знака "минус" перед дробью, значение $y$ всегда будет отрицательным.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0)$.
Из анализа ОДЗ и области значений следует, что график функции полностью расположен в IV координатной четверти.

Асимптоты и поведение на границах:

• При $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0^+$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к нулю, оставаясь положительным. Это значит, что дробь $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, а вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \to -\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
• При $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $\sqrt{x} \to +\infty$. Это значит, что дробь $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, а вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ (приближаясь к нулю снизу). Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

Монотонность:
Функция является возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$, так как при увеличении $x$ (например, от 1 до 4) значение $y$ также увеличивается (от -1 до -0.5).

2. Нахождение ключевых точек для построения

Вычислим значения функции для нескольких удобных значений $x$, чтобы построить график точнее.

3. Построение и описание графика

На координатной плоскости отмечаем точки (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5), (9; -0.33). Затем соединяем их плавной кривой, учитывая асимптотическое поведение функции. График начинается в IV четверти, уходя в минус бесконечность вдоль оси $Oy$, проходит через отмеченные точки и плавно приближается к оси $Ox$ при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ — это кривая линия, полностью расположенная в IV координатной четверти. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy), к которой кривая стремится к $-\infty$ при $x \to 0^+$, и горизонтальную $y=0$ (ось Ox), к которой кривая приближается снизу при $x \to +\infty$. Функция возрастает на всей области определения $(0, +\infty)$. Ключевые точки для построения: (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5).

1144. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = |x + 2| + |x - 2|;$

б) $y = |x + 1| - |x - 1|.$

Для построения графиков функций, содержащих модули, необходимо раскрыть модули на различных числовых промежутках. Границы промежутков определяются точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль.

а) $y = |x + 2| + |x - 2|$

1. Найдем нули подмодульных выражений:
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2]$ и $(2; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

2. При $x < -2$:
Оба выражения под модулями отрицательны: $x + 2 < 0$ и $x - 2 < 0$.
Следовательно, $|x + 2| = -(x + 2)$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
Функция принимает вид:
$y = -(x + 2) - (x - 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x$.
На этом интервале график функции совпадает с лучом прямой $y = -2x$, исходящим из точки, соответствующей $x = -2$. При $x = -2$, $y = -2(-2) = 4$. Точка $(-2; 4)$.

3. При $-2 \le x \le 2$:
Выражение $x + 2 \ge 0$, а $x - 2 \le 0$.
Следовательно, $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4$.
На этом отрезке график функции — это горизонтальный отрезок прямой $y = 4$, соединяющий точки с абсциссами $-2$ и $2$. Координаты концов отрезка: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$.

4. При $x > 2$:
Оба выражения под модулями положительны: $x + 2 > 0$ и $x - 2 > 0$.
Следовательно, $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 2| = x - 2$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 2) + (x - 2) = 2x$.
На этом интервале график функции совпадает с лучом прямой $y = 2x$, исходящим из точки, соответствующей $x = 2$. При $x = 2$, $y = 2(2) = 4$. Точка $(2; 4)$.

5. Для построения графика строим лучи и отрезок на координатной плоскости.
- Для $x \le -2$ строим часть прямой $y = -2x$. Например, точки $(-2, 4)$ и $(-3, 6)$.
- Для $-2 \le x \le 2$ строим отрезок $y = 4$.
- Для $x \ge 2$ строим часть прямой $y = 2x$. Например, точки $(2, 4)$ и $(3, 6)$.

Ответ: График функции $y = |x + 2| + |x - 2|$ состоит из трех частей: луча $y = -2x$ при $x \in (-\infty, -2]$, отрезка $y = 4$ при $x \in [-2, 2]$ и луча $y = 2x$ при $x \in [2, +\infty)$.

б) $y = |x + 1| - |x - 1|$

1. Найдем нули подмодульных выражений:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 1]$ и $(1; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

2. При $x < -1$:
Оба выражения под модулями отрицательны: $x + 1 < 0$ и $x - 1 < 0$.
Следовательно, $|x + 1| = -(x + 1)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$.
Функция принимает вид:
$y = -(x + 1) - (-(x - 1)) = -x - 1 + x - 1 = -2$.
На этом интервале график функции — это луч горизонтальной прямой $y = -2$ левее точки с абсциссой $x = -1$.

3. При $-1 \le x \le 1$:
Выражение $x + 1 \ge 0$, а $x - 1 \le 0$.
Следовательно, $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 1| = -(x - 1)$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 1) - (-(x - 1)) = x + 1 + x - 1 = 2x$.
На этом отрезке график функции — это отрезок прямой $y = 2x$. Найдем значения на концах отрезка: при $x = -1$, $y = 2(-1) = -2$; при $x = 1$, $y = 2(1) = 2$. Отрезок соединяет точки $(-1; -2)$ и $(1; 2)$.

4. При $x > 1$:
Оба выражения под модулями положительны: $x + 1 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Следовательно, $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 1| = x - 1$.
Функция принимает вид:
$y = (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2$.
На этом интервале график функции — это луч горизонтальной прямой $y = 2$ правее точки с абсциссой $x = 1$.

5. Для построения графика строим лучи и отрезок на координатной плоскости.
- Для $x \le -1$ строим луч $y = -2$.
- Для $-1 \le x \le 1$ строим отрезок прямой $y = 2x$, соединяющий точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$.
- Для $x \ge 1$ строим луч $y = 2$.

Ответ: График функции $y = |x + 1| - |x - 1|$ состоит из трех частей: луча $y = -2$ при $x \in (-\infty, -1]$, отрезка прямой $y = 2x$ при $x \in [-1, 1]$ и луча $y = 2$ при $x \in [1, +\infty)$.

1145. Постройте график функции, заданной формулой $y = x + \frac{1}{x}$.

Для построения графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:$y(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Поэтому достаточно исследовать функцию для $x > 0$ и затем отразить полученную часть графика симметрично относительно начала координат.

3. Асимптоты.

Вертикальная асимптота:
Поскольку функция не определена в точке $x=0$, исследуем ее поведение вблизи этой точки.$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$
Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота:
Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1/x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Таким образом, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

4. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy:
График не пересекает ось Oy, так как $x \neq 0$.

С осью Ox:
Найдем точки, где $y=0$:$x + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{x^2+1}{x} = 0$.
Это уравнение эквивалентно $x^2 + 1 = 0$ при условии $x \neq 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x = -1$.
Точка $x=0$ также является точкой, где производная не существует, но она не входит в область определения.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = \frac{(-2)^2-1}{(-2)^2} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 0)$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2-1}{(-0.5)^2} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, 1)$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = \frac{0.5^2-1}{0.5^2} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = \frac{2^2-1}{2^2} > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$. Точка максимума: $(-1, -2)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Точка минимума: $(1, 2)$.

6. Построение графика.

Соберем данные для построения в таблицу:

На основе проведенного анализа и таблицы значений строим график.

1. Чертим оси координат и наносим разметку.
2. Чертим асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy) и наклонную $y=x$.
3. Отмечаем точки экстремумов: локальный максимум $(-1, -2)$ и локальный минимум $(1, 2)$.
4. Соединяем точки плавными линиями, учитывая, что график состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первом квадранте, проходит через точку минимума $(1, 2)$ и приближается к асимптотам $x=0$ и $y=x$. Вторая ветвь находится в третьем квадранте, проходит через точку максимума $(-1, -2)$ и также приближается к асимптотам $x=0$ и $y=x$.

Ответ:
График функции $y = x + \frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Ключевые свойства и итоговый вид графика представлены ниже.

• График симметричен относительно начала координат (функция нечетная).
• Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) и наклонную асимптоту $y=x$.
• Не пересекает оси координат.
• Одна ветвь расположена в первой координатной четверти, имеет точку локального минимума $(1, 2)$.
• Вторая ветвь расположена в третьей координатной четверти, имеет точку локального максимума $(-1, -2)$.

1146. Пересекает ли график функции $y = \frac{3x+1}{x}$ прямую:

а) $x = 0$;

б) $y = 0$;

в) $x = 3$;

г) $y = 3$?

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \frac{3x+1}{x}$ заданную прямую, необходимо проверить, существует ли общая точка $(x, y)$, координаты которой удовлетворяют и уравнению функции, и уравнению прямой.

а) $x = 0$

Проверим, определена ли функция при $x=0$. Область определения функции $y = \frac{3x+1}{x}$ — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$. Так как значение $x=0$ не входит в область определения функции, график функции не может пересекать прямую $x=0$ (ось ординат). Эта прямая является вертикальной асимптотой для графика функции.

Ответ: не пересекает.

б) $y = 0$

Чтобы найти точки пересечения с прямой $y=0$ (осью абсцисс), подставим $y=0$ в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно $x$:
$0 = \frac{3x+1}{x}$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$3x+1=0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
При $x = -\frac{1}{3}$ знаменатель не равен нулю $(-\frac{1}{3} \neq 0)$, поэтому точка пересечения существует. Координаты точки пересечения: $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: пересекает.

в) $x = 3$

Чтобы проверить, пересекается ли график с прямой $x=3$, подставим это значение $x$ в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$ (это возможно, так как $x=3$ входит в область определения функции):
$y = \frac{3(3)+1}{3}$
$y = \frac{9+1}{3}$
$y = \frac{10}{3}$
Поскольку мы получили конкретное значение $y$, существует точка пересечения с координатами $(3; \frac{10}{3})$.

Ответ: пересекает.

г) $y = 3$

Чтобы проверить, пересекается ли график с прямой $y=3$, подставим это значение $y$ в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно $x$:
$3 = \frac{3x+1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$, так как из области определения мы знаем, что $x \neq 0$:
$3x = 3x+1$
$3x - 3x = 1$
$0 = 1$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, у графика функции и прямой $y=3$ нет общих точек. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой для графика функции.

Ответ: не пересекает.

1147. Постройте график функции:

a) $y = \frac{2x + 3}{x}$;

б) $y = \frac{4 - 5x}{x}$;

в) $y = \frac{12}{x - 4}$;

г) $y = -\frac{6}{x + 3}$.

а) $y = \frac{2x + 3}{x}$

Для построения графика преобразуем данную функцию, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{2x}{x} + \frac{3}{x} = 2 + \frac{3}{x}$

Итак, мы получили функцию $y = \frac{3}{x} + 2$. Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x_0} + y_0$, где $k=3$, а смещение происходит по оси ординат на 2 единицы вверх.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 0$ (так как при $x=0$ знаменатель обращается в ноль).
Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (результат сдвига).

Поскольку $k=3 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.

Найдем точки для построения. Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 1$, $y = \frac{3}{1} + 2 = 5$
при $x = 3$, $y = \frac{3}{3} + 2 = 3$
при $x = -1$, $y = \frac{3}{-1} + 2 = -1$
при $x = -3$, $y = \frac{3}{-3} + 2 = 1$
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{3}{x} + 2 \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -1.5$. Точка $(-1.5; 0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x+3}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: прямые $x=0$ и $y=2$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

б) $y = \frac{4 - 5x}{x}$

Преобразуем данную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{4}{x} - \frac{5x}{x} = \frac{4}{x} - 5$

Мы получили функцию $y = \frac{4}{x} - 5$. Это функция вида $y = \frac{k}{x} + y_0$, где $k=4$, а смещение происходит по оси ординат на 5 единиц вниз.

График этой функции – гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 0$.
Горизонтальная асимптота: $y = -5$.

Поскольку $k=4 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(0; -5)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 1$, $y = \frac{4}{1} - 5 = -1$
при $x = 2$, $y = \frac{4}{2} - 5 = -3$
при $x = -1$, $y = \frac{4}{-1} - 5 = -9$
при $x = -2$, $y = \frac{4}{-2} - 5 = -7$
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{4}{x} - 5 \implies \frac{4}{x} = 5 \implies x = 0.8$. Точка $(0.8; 0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{4-5x}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 5 единиц вниз. Асимптоты: прямые $x=0$ и $y=-5$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

в) $y = \frac{12}{x - 4}$

Данная функция уже представлена в виде $y = \frac{k}{x - x_0}$, где $k=12$, а смещение происходит по оси абсцисс на 4 единицы вправо.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 4$ (значение, при котором знаменатель равен нулю).
Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Так как $k=12 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(4; 0)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 6$, $y = \frac{12}{6 - 4} = 6$
при $x = 8$, $y = \frac{12}{8 - 4} = 3$
при $x = 2$, $y = \frac{12}{2 - 4} = -6$
при $x = 0$, $y = \frac{12}{0 - 4} = -3$ (точка пересечения с осью Oy).

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-4}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 4 единицы вправо. Асимптоты: прямые $x=4$ и $y=0$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

г) $y = -\frac{6}{x + 3}$

Функцию можно представить в виде $y = \frac{-6}{x - (-3)}$. Это функция вида $y = \frac{k}{x - x_0}$, где $k=-6$, а смещение происходит по оси абсцисс на 3 единицы влево.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{-6}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Так как $k=-6 < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(-3; 0)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2 + 3} = -6$
при $x = 0$, $y = -\frac{6}{0 + 3} = -2$ (точка пересечения с осью Oy).
при $x = -4$, $y = -\frac{6}{-4 + 3} = 6$
при $x = -5$, $y = -\frac{6}{-5 + 3} = 3$.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{x+3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 3 единицы влево. Асимптоты: прямые $x=-3$ и $y=0$. Ветви расположены во втором и четвертом "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

1148. Докажите, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых.

Для того чтобы доказать, что график уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является парой пересекающихся прямых, необходимо преобразовать данное уравнение методом разложения на множители.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(xy - 2x) + (3y - 6) = 0$

Вынесем общие множители за скобки из каждой группы:

$x(y - 2) + 3(y - 2) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(y - 2)$, который также можно вынести за скобку:

$(x + 3)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x + 3 = 0$ или $y - 2 = 0$

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой на координатной плоскости:

1. $x + 3 = 0$, что равносильно $x = -3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат (Oy).

2. $y - 2 = 0$, что равносильно $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (Ox).

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых: $x = -3$ и $y = 2$.

Поскольку одна прямая вертикальная, а другая горизонтальная, они не параллельны и, следовательно, пересекаются. Точку их пересечения найдем, решив систему уравнений:

$\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$

Решением системы является точка с координатами $(-3; 2)$.

Итак, мы доказали, что график уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является парой прямых ($x=-3$ и $y=2$), которые пересекаются в точке $(-3; 2)$.

Ответ: Уравнение $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ путем разложения на множители приводится к виду $(x + 3)(y - 2) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений: $x + 3 = 0$ и $y - 2 = 0$, которые задают две прямые $x = -3$ и $y = 2$. Эти прямые пересекаются в точке $(-3; 2)$, что и доказывает утверждение задачи.