Номер 1143, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1143, страница 257.

1143. Постройте график функции, заданной формулой $y = - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ необходимо проанализировать ее свойства, найти несколько ключевых точек и на их основе построить кривую.

1. Анализ функции

Область определения функции (ОДЗ):
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений функции:
Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным. Значит, дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ также всегда положительна. Из-за знака "минус" перед дробью, значение $y$ всегда будет отрицательным.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0)$.
Из анализа ОДЗ и области значений следует, что график функции полностью расположен в IV координатной четверти.

Асимптоты и поведение на границах:

• При $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0^+$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к нулю, оставаясь положительным. Это значит, что дробь $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, а вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \to -\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
• При $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $\sqrt{x} \to +\infty$. Это значит, что дробь $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, а вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ (приближаясь к нулю снизу). Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

Монотонность:
Функция является возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$, так как при увеличении $x$ (например, от 1 до 4) значение $y$ также увеличивается (от -1 до -0.5).

2. Нахождение ключевых точек для построения

Вычислим значения функции для нескольких удобных значений $x$, чтобы построить график точнее.

$x$	$y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$
0.25	$y = -\frac{1}{\sqrt{0.25}} = -\frac{1}{0.5} = -2$
1	$y = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$
4	$y = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2} = -0.5$
9	$y = -\frac{1}{\sqrt{9}} = -\frac{1}{3} \approx -0.33$

3. Построение и описание графика

На координатной плоскости отмечаем точки (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5), (9; -0.33). Затем соединяем их плавной кривой, учитывая асимптотическое поведение функции. График начинается в IV четверти, уходя в минус бесконечность вдоль оси $Oy$, проходит через отмеченные точки и плавно приближается к оси $Ox$ при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ — это кривая линия, полностью расположенная в IV координатной четверти. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy), к которой кривая стремится к $-\infty$ при $x \to 0^+$, и горизонтальную $y=0$ (ось Ox), к которой кривая приближается снизу при $x \to +\infty$. Функция возрастает на всей области определения $(0, +\infty)$. Ключевые точки для построения: (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5).