Номер 1138, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1138, страница 257.

1138. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Для решения задачи введем переменные. Пусть время, за которое второй слесарь может выполнить все задание в одиночку, равно $x$ часов. Согласно условию, первому слесарю на выполнение того же задания понадобится на 7 часов больше, то есть $(x+7)$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) — это объем работы, деленный на время. Примем всю работу за 1 единицу.
Тогда производительность первого слесаря составляет $p_1 = \frac{1}{x+7}$ (часть задания в час).
Производительность второго слесаря составляет $p_2 = \frac{1}{x}$ (часть задания в час).

Найдем время, за которое слесари выполнили бы всю работу вместе

При совместной работе их производительности складываются:
$p_{общая} = p_1 + p_2 = \frac{1}{x+7} + \frac{1}{x} = \frac{x + (x+7)}{x(x+7)} = \frac{2x+7}{x(x+7)}$.
Время, необходимое для выполнения всей работы вместе, равно:
$T_{вместе} = \frac{1}{p_{общая}} = \frac{x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Найдем фактическое время выполнения задания по условию

По условию, сначала оба слесаря выполнили половину задания. Время, затраченное на это, равно:
$T_{половина\_вместе} = \frac{0.5}{p_{общая}} = 0.5 \cdot T_{вместе} = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7}$.
Оставшуюся половину задания ($0.5$) доделывал только второй слесарь. Время, которое он на это потратил:
$T_{половина\_второй} = \frac{0.5}{p_2} = \frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов.
Общее фактическое время выполнения задания составило:
$T_{факт} = T_{половина\_вместе} + T_{половина\_второй} = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 0.5x$.

Составим и решим уравнение

По условию, фактическое время оказалось на 4,5 часа больше, чем время, за которое они выполнили бы всю работу вместе:
$T_{факт} = T_{вместе} + 4.5$
Подставим полученные выражения:
$\frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 0.5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
Перенесем слагаемое с $T_{вместе}$ в правую часть:
$0.5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} - \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
$0.5x = \frac{0.5 \cdot x(x+7)}{2x+7} + 4.5$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей 0.5:
$x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 9$
$x - 9 = \frac{x^2+7x}{2x+7}$
Умножим обе части на $(2x+7)$, при условии, что $x > 0$:
$(x-9)(2x+7) = x^2+7x$
$2x^2 + 7x - 18x - 63 = x^2+7x$
$2x^2 - 11x - 63 = x^2+7x$
Приведем подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 18x - 63 = 0$
Решим уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 18, а их произведение равно -63. Подходят числа 21 и -3.
$x_1 = 21$, $x_2 = -3$.
Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи.

Найдем время выполнения задания для каждого слесаря

Время второго слесаря: $x = 21$ час.
Время первого слесаря: $x+7 = 21+7 = 28$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 28 часов, а второй — за 21 час.