Номер 1131, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1131, страница 256.

1131. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго мальчика соответственно. Длина дорожки $L = 50$ м. Второй мальчик стартует на $\Delta t = 1$ с позже первого.

1. Анализ первой встречи

Первая встреча происходит на расстоянии $S_1 = 10$ м от старта. Пусть $t_1$ — время, прошедшее с момента старта первого мальчика до этой встречи. За это время первый мальчик пробежал 10 м, значит, его скорость:

$v_1 = \frac{10}{t_1}$

Второй мальчик стартовал на 1 секунду позже, поэтому он бежал в течение времени $(t_1 - 1)$ с и также пробежал 10 м. Его скорость:

$v_2 = \frac{10}{t_1 - 1}$

Так как второй мальчик уже стартовал, должно выполняться условие $t_1 > 1$ с.

2. Анализ второй встречи

Вторая встреча происходит через $T = 10$ с после старта первого мальчика. Найдем положение каждого мальчика в этот момент времени, отсчитывая расстояние от линии старта.

Положение первого мальчика:

$S_{\text{мальчик 1}} = v_1 \cdot T = 10v_1$

Второй мальчик к этому моменту бежит в течение $T - 1 = 9$ с. За это время он добегает до конца дорожки (50 м), разворачивается и бежит обратно. Общее расстояние, которое он преодолел:

$D_{\text{мальчик 2}} = v_2 \cdot (T - 1) = 9v_2$

Поскольку он бежит обратно от конца дорожки, его положение (координата) относительно линии старта вычисляется как разность между длиной дорожки и расстоянием, которое он пробежал в обратном направлении. Расстояние в обратном направлении равно $D_{\text{мальчик 2}} - 50$.

$S_{\text{мальчик 2}} = 50 - (D_{\text{мальчик 2}} - 50) = 100 - D_{\text{мальчик 2}} = 100 - 9v_2$

В момент второй встречи их положения совпадают: $S_{\text{мальчик 1}} = S_{\text{мальчик 2}}$.

$10v_1 = 100 - 9v_2$

3. Решение системы уравнений

Подставим выражения для $v_1$ и $v_2$ из пункта 1 в полученное уравнение:

$10 \cdot \left(\frac{10}{t_1}\right) = 100 - 9 \cdot \left(\frac{10}{t_1 - 1}\right)$

$\frac{100}{t_1} = 100 - \frac{90}{t_1 - 1}$

Разделим всё уравнение на 10 для упрощения:

$\frac{10}{t_1} = 10 - \frac{9}{t_1 - 1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{10}{t_1} = \frac{10(t_1 - 1) - 9}{t_1 - 1} \implies \frac{10}{t_1} = \frac{10t_1 - 19}{t_1 - 1}$

Используя свойство пропорции, получим:

$10(t_1 - 1) = t_1(10t_1 - 19)$

$10t_1 - 10 = 10t_1^2 - 19t_1$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$10t_1^2 - 29t_1 + 10 = 0$

Решаем уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$

Находим корни:

$t_{1} = \frac{29 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{50}{20} = 2.5$

$t'_{1} = \frac{29 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = 0.4$

Согласно условию $t_1 > 1$, корень $t'_{1} = 0.4$ с не подходит. Следовательно, первая встреча произошла через $t_1 = 2.5$ с после старта первого мальчика.

4. Нахождение места второй встречи

Теперь мы можем найти скорость первого мальчика:

$v_1 = \frac{10}{t_1} = \frac{10}{2.5} = 4$ м/с

Вторая встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика. Место встречи — это расстояние, которое он пробежал за это время от линии старта:

$S_{\text{встречи}} = v_1 \cdot T = 4 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 40$ м

Вопрос задачи состоит в том, на каком расстоянии от конца дорожки произошла встреча. Для этого вычтем найденное расстояние из общей длины дорожки:

Расстояние от конца = $L - S_{\text{встречи}} = 50 \text{ м} - 40 \text{ м} = 10$ м

Ответ: 10 м.