Номер 1136, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1136, страница 256.

1136. Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?

Пусть $v_1$ – скорость первого автомобиля (из A в B), а $v_2$ – скорость второго автомобиля (из B в A). Пусть $S$ – расстояние между A и B.

Автомобили выехали одновременно и встретились через 3 часа. Это означает, что до момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = 3v_1$, а второй – $S_2 = 3v_2$. Вместе они проехали все расстояние $S$, то есть $S = S_1 + S_2 = 3v_1 + 3v_2$.

После встречи первому автомобилю, чтобы прибыть в пункт B, осталось проехать расстояние $S_2 = 3v_2$. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{3v_2}{v_1}$ часа.

Второму автомобилю, чтобы прибыть в пункт A, осталось проехать расстояние $S_1 = 3v_1$. Время, которое он на это затратил, равно $\frac{3v_1}{v_2}$ часа.

Полное время в пути для первого автомобиля составляет $t_1 = 3 + \frac{3v_2}{v_1}$ часов.

Полное время в пути для второго автомобиля составляет $t_2 = 3 + \frac{3v_1}{v_2}$ часов.

По условию задачи, первый автомобиль пришел в B на 1,1 часа позже, чем второй в A. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 + 1.1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$3 + \frac{3v_2}{v_1} = \left(3 + \frac{3v_1}{v_2}\right) + 1.1$

Упростим уравнение, вычтя 3 из обеих частей:

$\frac{3v_2}{v_1} = \frac{3v_1}{v_2} + 1.1$

Нам нужно найти, во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого, то есть найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$. Обозначим это отношение как $k$: $k = \frac{v_2}{v_1}$. Тогда обратное отношение $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{k}$.

Подставим $k$ в наше уравнение:

$3k = \frac{3}{k} + 1.1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $k$ (так как $k$ не может быть равно нулю, поскольку скорости автомобилей положительны):

$3k^2 = 3 + 1.1k$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3k^2 - 1.1k - 3 = 0$

Чтобы работать с целыми коэффициентами, умножим все уравнение на 10:

$30k^2 - 11k - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-30) = 121 + 3600 = 3721$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_1 = \frac{11 + 61}{2 \cdot 30} = \frac{72}{60} = \frac{12}{10} = 1.2$

$k_2 = \frac{11 - 61}{2 \cdot 30} = \frac{-50}{60} = -\frac{5}{6}$

Поскольку $k$ — это отношение скоростей, оно должно быть положительной величиной. Следовательно, нам подходит только корень $k_1 = 1.2$.

Это означает, что $\frac{v_2}{v_1} = 1.2$.

Ответ: скорость второго автомобиля больше скорости первого в 1,2 раза.