Номер 1140, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1140, страница 257.

1140. Найдите члены пропорции $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

Обозначим члены пропорции как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

• $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$
• $x_1 = x_2 + 6$
• $x_3 = x_4 + 5$
• $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$

Из основного свойства пропорции $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$ следует, что $x_1 \cdot x_4 = x_2 \cdot x_3$. Подставим в это равенство выражения для $x_1$ и $x_3$ из второго и третьего уравнений системы:

$(x_2 + 6) \cdot x_4 = x_2 \cdot (x_4 + 5)$

Раскроем скобки:

$x_2 x_4 + 6x_4 = x_2 x_4 + 5x_2$

Вычтем $x_2 x_4$ из обеих частей уравнения:

$6x_4 = 5x_2$

Отсюда выразим $x_4$ через $x_2$:

$x_4 = \frac{5}{6}x_2$

Теперь мы можем выразить все члены пропорции через $x_2$:

• $x_1 = x_2 + 6$
• $x_2 = x_2$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2$
• $x_3 = x_4 + 5 = \frac{5}{6}x_2 + 5$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$

$(x_2 + 6)^2 + x_2^2 + (\frac{5}{6}x_2 + 5)^2 + (\frac{5}{6}x_2)^2 = 793$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x_2^2 + 12x_2 + 36) + x_2^2 + (\frac{25}{36}x_2^2 + 2 \cdot \frac{5}{6}x_2 \cdot 5 + 25) + \frac{25}{36}x_2^2 = 793$

$x_2^2 + 12x_2 + 36 + x_2^2 + \frac{25}{36}x_2^2 + \frac{50}{6}x_2 + 25 + \frac{25}{36}x_2^2 = 793$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 + 1 + \frac{25}{36} + \frac{25}{36})x_2^2 + (12 + \frac{50}{6})x_2 + (36 + 25) = 793$

$(2 + \frac{50}{36})x_2^2 + (12 + \frac{25}{3})x_2 + 61 = 793$

$(\frac{72}{36} + \frac{50}{36})x_2^2 + (\frac{36}{3} + \frac{25}{3})x_2 + 61 = 793$

$\frac{122}{36}x_2^2 + \frac{61}{3}x_2 + 61 = 793$

$\frac{61}{18}x_2^2 + \frac{61}{3}x_2 - 732 = 0$

Разделим все уравнение на 61 (так как $732 = 61 \cdot 12$):

$\frac{1}{18}x_2^2 + \frac{1}{3}x_2 - 12 = 0$

Умножим все уравнение на 18, чтобы избавиться от дробей:

$x_2^2 + 6x_2 - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем корни уравнения:

$x_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Получили два возможных значения для $x_2$. Найдем соответствующие значения для остальных членов пропорции для каждого случая.

Случай 1: $x_2 = 12$

• $x_1 = x_2 + 6 = 12 + 6 = 18$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2 = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10$
• $x_3 = x_4 + 5 = 10 + 5 = 15$

Получаем набор членов: 18, 12, 15, 10. Проверим пропорцию: $18:12 = 3:2$ и $15:10 = 3:2$. Проверим сумму квадратов: $18^2 + 12^2 + 15^2 + 10^2 = 324 + 144 + 225 + 100 = 793$. Этот набор является решением.

Случай 2: $x_2 = -18$

• $x_1 = x_2 + 6 = -18 + 6 = -12$
• $x_4 = \frac{5}{6}x_2 = \frac{5}{6} \cdot (-18) = -15$
• $x_3 = x_4 + 5 = -15 + 5 = -10$

Получаем набор членов: -12, -18, -10, -15. Проверим пропорцию: $(-12):(-18) = 2:3$ и $(-10):(-15) = 2:3$. Проверим сумму квадратов: $(-12)^2 + (-18)^2 + (-10)^2 + (-15)^2 = 144 + 324 + 100 + 225 = 793$. Этот набор также является решением.

Ответ: Существуют два набора членов пропорции, удовлетворяющих условиям задачи: 18, 12, 15, 10 и -12, -18, -10, -15.