Номер 1134, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1134, страница 256.

1134. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта $B$. Прибыв в пункты $A$ и $B$, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта $A$. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.

Пусть $S$ - искомое расстояние между пунктами А и В в километрах, $v_A$ - скорость велосипедиста, выехавшего из пункта А, а $v_B$ - скорость велосипедиста, выехавшего из пункта В.

1. Анализ первой встречи
До первой встречи оба велосипедиста были в пути одинаковое время. Встреча произошла в 30 км от пункта В. Это значит, что велосипедист из пункта B проехал 30 км, а велосипедист из пункта А проехал $S - 30$ км. Поскольку время движения одинаково, отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей: $$ \frac{v_A}{v_B} = \frac{S - 30}{30} $$

2. Анализ второй встречи
Рассмотрим суммарное расстояние, которое проехали оба велосипедиста от начала движения до каждой из встреч.

• К моменту первой встречи они, двигаясь навстречу друг другу, вместе преодолели все расстояние между пунктами, то есть их суммарный путь равен $S$.
• К моменту второй встречи каждый из них доехал до противоположного пункта и повернул обратно. Таким образом, они вместе проехали расстояние от А до В трижды. Их суммарный путь равен $3S$.

Поскольку скорости велосипедистов постоянны, время, прошедшее от старта до второй встречи, в три раза больше времени, прошедшего до первой встречи. Следовательно, каждый велосипедист ко второй встрече проехал в три раза большее расстояние, чем к первой.

3. Составление и решение уравнения
Расстояние, которое проехал первый велосипедист (из пункта А) до первой встречи, равно $S_A_1 = S - 30$ км.
Значит, ко второй встрече он проехал расстояние втрое больше: $$ S_A_2 = 3 \cdot S_A_1 = 3(S - 30) $$

С другой стороны, мы можем выразить путь $S_A_2$ из условия задачи. Велосипедист выехал из А, доехал до В (проехав $S$ км), развернулся и поехал обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Значит, на обратном пути от В к А он проехал расстояние $S - 18$ км. Его общий путь: $$ S_A_2 = S + (S - 18) = 2S - 18 $$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $S_A_2$: $$ 3(S - 30) = 2S - 18 $$ $$ 3S - 90 = 2S - 18 $$ $$ 3S - 2S = 90 - 18 $$ $$ S = 72 $$ Таким образом, расстояние между пунктами А и В равно 72 км.

Ответ: 72 км.