Номер 1128, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1128, страница 256.

1128. Докажите, что при любом натуральном $n$, большем 2, корни уравнения $x + \frac{1}{x} = n$ — иррациональные числа.

Для решения задачи преобразуем данное уравнение. Заметим, что область допустимых значений переменной $x$ исключает $x=0$.

Умножим обе части уравнения $x + \frac{1}{x} = n$ на $x$:

$x \cdot (x + \frac{1}{x}) = n \cdot x$

$x^2 + 1 = nx$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - nx + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-n$, $c=1$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 - 4$

По условию, $n$ — натуральное число и $n > 2$. Это означает, что $n \ge 3$.

Проверим знак дискриминанта при $n \ge 3$. Поскольку $n^2 \ge 3^2 = 9$, то $D = n^2 - 4 \ge 9 - 4 = 5$. Так как $D > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-n) \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$

Корни уравнения будут рациональными числами в том и только в том случае, если корень из дискриминанта, $\sqrt{D} = \sqrt{n^2 - 4}$, является рациональным числом. Так как $n$ — целое число, то $n^2 - 4$ также является целым числом. Корень из целого числа может быть либо целым числом, либо иррациональным. Следовательно, для того чтобы корни $x_{1,2}$ были рациональными, необходимо и достаточно, чтобы $n^2 - 4$ было полным квадратом (квадратом целого числа).

Докажем, что $n^2 - 4$ не является полным квадратом ни для какого натурального $n > 2$. Будем доказывать от противного. Предположим, что существует такое натуральное $n > 2$, что $n^2 - 4$ является полным квадратом. То есть, $n^2 - 4 = k^2$ для некоторого неотрицательного целого числа $k$.

Перепишем равенство в виде:

$n^2 - k^2 = 4$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(n - k)(n + k) = 4$

Поскольку $n$ — натуральное число, а $k$ — целое, то множители $(n - k)$ и $(n + k)$ являются целыми числами. Так как $n^2 = k^2 + 4$, то $n^2 > k^2$, откуда $n > k$ (поскольку $n>0$). Значит, $(n-k)$ — положительное целое число. Также $(n+k)$ — положительное целое число, и очевидно, что $(n+k) > (n-k)$.

Рассмотрим возможные пары целых положительных множителей числа 4, учитывая, что второй множитель больше первого:

Единственный такой вариант — это когда множители равны 1 и 4. $\begin{cases} n - k = 1 \\ n + k = 4 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(n - k) + (n + k) = 1 + 4 \Rightarrow 2n = 5 \Rightarrow n = 2.5$.

Полученное значение $n = 2.5$ не является натуральным числом, что противоречит условию. Случай, когда $n-k=2$ и $n+k=2$, привел бы к $k=0$ и $n=2$, что противоречит условию $n>2$.

Таким образом, наше предположение о том, что $n^2 - 4$ является полным квадратом для натурального $n>2$, неверно. Следовательно, для любого натурального $n > 2$ число $\sqrt{n^2 - 4}$ является иррациональным.

Поскольку корни уравнения $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$ содержат иррациональное слагаемое $\sqrt{n^2 - 4}$, они сами являются иррациональными числами (сумма/разность рационального и иррационального числа, деленная на ненулевое рациональное число, есть число иррациональное). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Корни уравнения при любом натуральном $n$, большем 2, являются иррациональными числами.