Номер 1124, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1124, страница 255.

1124. Решите уравнение $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$ относительно $x$.

Преобразуем исходное уравнение $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$.

Раскроем скобки в левой части:

$$x^4 - 2a^2x^2 + a^4 = 4ax + 1$$

Перенесем слагаемое $-2a^2x^2$ из левой части в правую:

$$x^4 + a^4 = 2a^2x^2 + 4ax + 1$$

Чтобы получить в левой части полный квадрат, прибавим к обеим частям уравнения $2a^2x^2$:

$$x^4 + 2a^2x^2 + a^4 = 2a^2x^2 + 2a^2x^2 + 4ax + 1$$

Теперь левую часть можно свернуть как квадрат суммы $(x^2 + a^2)$, а правую часть упростить:

$$(x^2 + a^2)^2 = 4a^2x^2 + 4ax + 1$$

Заметим, что выражение в правой части также является полным квадратом: $4a^2x^2 + 4ax + 1 = (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot 1 + 1^2 = (2ax + 1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$$(x^2 + a^2)^2 = (2ax + 1)^2$$

Равенство квадратов двух выражений означает, что сами выражения либо равны, либо противоположны по знаку. Это приводит к совокупности двух уравнений. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Выражения равны.

$$x^2 + a^2 = 2ax + 1$$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$$(x - a)^2 - 1 = 0$$

$$(x - a)^2 = 1$$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$$x - a = 1 \quad \Rightarrow \quad x = a + 1$$

$$x - a = -1 \quad \Rightarrow \quad x = a - 1$$

Случай 2: Выражения противоположны.

$$x^2 + a^2 = -(2ax + 1)$$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$$x^2 + a^2 = -2ax - 1$$

$$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0$$

Сгруппируем первые три слагаемых:

$$(x + a)^2 + 1 = 0$$

$$(x + a)^2 = -1$$

В области действительных чисел это уравнение решений не имеет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Однако в области комплексных чисел мы можем найти корни. Извлекая корень, получаем:

$$x + a = \pm \sqrt{-1}$$

$$x + a = \pm i$$

где $i$ — мнимая единица. Отсюда находим еще два комплексных корня:

$$x = -a + i$$

$$x = -a - i$$

Объединяя решения из двух случаев, получаем все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $x = a \pm 1, \quad x = -a \pm i$.