Номер 1120, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1120, страница 255.

1120. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению $x^2 - y^2 = 69$.

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 69$, в котором $x$ и $y$ — натуральные числа.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 69$

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа, значит $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Следовательно, сумма $x+y$ является натуральным числом, и $x+y \ge 2$.
Множитель $x-y$ является целым числом. Поскольку произведение $(x-y)(x+y)=69$ положительно и $x+y>0$, то и $x-y$ должно быть положительным. Это значит, что $x>y$, и $x-y$ также является натуральным числом.
Таким образом, мы ищем два натуральных числа, $(x-y)$ и $(x+y)$, произведение которых равно 69.

Обозначим $a = x-y$ и $b = x+y$. Так как $y$ — натуральное число, $y \ge 1$, то $b = x+y > x-y = a$.

Задача свелась к нахождению пар натуральных множителей $a$ и $b$ числа 69, для которых $a < b$.

Найдем все натуральные делители числа 69: 1, 3, 23, 69.
Составим из них пары $(a,b)$ так, чтобы $a \cdot b = 69$ и $a < b$:

1) $a=1, b=69$

2) $a=3, b=23$

Теперь для каждой пары найдем соответствующие значения $x$ и $y$, решив систему уравнений.

Случай 1: $x-y=1$ и $x+y=69$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 1+69$, что дает $2x=70$, и $x=35$.
Подставим $x=35$ во второе уравнение: $35+y=69$, откуда $y=34$.
Получили пару натуральных чисел $(35, 34)$. Проверим: $35^2 - 34^2 = 1225 - 1156 = 69$. Решение верное.

Случай 2: $x-y=3$ и $x+y=23$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 3+23$, что дает $2x=26$, и $x=13$.
Подставим $x=13$ во второе уравнение: $13+y=23$, откуда $y=10$.
Получили пару натуральных чисел $(13, 10)$. Проверим: $13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$. Решение верное.

Других пар натуральных множителей у числа 69 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(35, 34)$, $(13, 10)$.