Номер 1117, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1117, страница 255.

1117. Представьте многочлен $x^8 + x^4 + 1$ в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

Для того чтобы разложить многочлен $x^8 + x^4 + 1$ на четыре множителя ненулевой степени, мы будем использовать метод выделения полного квадрата и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1. Сначала представим исходный многочлен в виде разности квадратов. Для этого добавим и вычтем $x^4$:

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^4 + 1)^2$, поэтому получаем:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применяя формулу разности квадратов, получаем произведение двух многочленов:

$(x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

2. Теперь необходимо разложить на множители каждый из полученных многочленов.

Разложим многочлен $x^4 + x^2 + 1$. Снова применим метод выделения полного квадрата, добавив и вычтя $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

По формуле разности квадратов:

$(x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3. Разложим многочлен $x^4 - x^2 + 1$. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя $3x^2$:

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

По формуле разности квадратов:

$(x^2 + 1 - \sqrt{3}x)(x^2 + 1 + \sqrt{3}x) = (x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

4. Объединив все полученные множители, мы представляем исходный многочлен в виде произведения четырех многочленов второй степени, то есть ненулевой степени.

$x^8 + x^4 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$