Номер 1121, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1121, страница 255.

1121. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Пусть даны два числа указанного вида: $x_1 = a_1 + b_1\sqrt{2}$ и $x_2 = a_2 + b_2\sqrt{2}$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — рациональные числа.

Сумма

Найдем сумму этих чисел:

$x_1 + x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1 + a_2$ и $d = b_1 + b_2$. Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, сумма представлена в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Сумма чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлена в таком же виде.

Разность

Найдем разность этих чисел:

$x_1 - x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2}) - (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1 - a_2$ и $d = b_1 - b_2$. Так как разность рациональных чисел является рациональным числом, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, разность представлена в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Разность чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлена в таком же виде.

Произведение

Найдем произведение этих чисел:

$x_1 \cdot x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + b_1a_2\sqrt{2} + b_1b_2(\sqrt{2})^2 = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1a_2 + 2b_1b_2$ и $d = a_1b_2 + a_2b_1$. Так как произведение и сумма рациональных чисел являются рациональными числами, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, произведение представлено в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Произведение чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлено в таком же виде.

Частное

Найдем частное этих чисел, при условии, что делитель $x_2$ не равен нулю ($x_2 = a_2 + b_2\sqrt{2} \neq 0$). Это означает, что $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно.

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1 + b_1\sqrt{2}}{a_2 + b_2\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $a_2 - b_2\sqrt{2}$:

$\frac{(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})}{(a_2 + b_2\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})} = \frac{a_1a_2 - a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} - 2b_1b_2}{a_2^2 - (b_2\sqrt{2})^2} = \frac{(a_1a_2 - 2b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)\sqrt{2}}{a_2^2 - 2b_2^2}$

Это можно записать в виде:

$\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\sqrt{2}$

Знаменатель $a_2^2 - 2b_2^2$ не равен нулю, так как если бы он был равен нулю, то $a_2^2 = 2b_2^2$. Для ненулевых рациональных $a_2, b_2$ это означало бы, что $\sqrt{2} = |a_2/b_2|$, а это невозможно, так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Если $b_2=0$, то и $a_2=0$, что противоречит условию $x_2 \neq 0$.

Обозначим $c = \frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ и $d = \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$. Так как все операции (сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число) над рациональными числами дают в результате рациональное число, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, частное представлено в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Частное чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлено в таком же виде.