Страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1115. Найдите целые значения x, при которых функция

$y = \sqrt{20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2}}$

принимает целые значения.

Для того чтобы функция $y$ была определена, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это задает область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Внутренний корень: $91 + 6x - x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена: $x^2 - 6x - 91 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 91 = 0$ через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-91) = 36 + 364 = 400 = 20^2$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 20}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 20}{2} = -7$, $x_2 = \frac{6 + 20}{2} = 13$.

Парабола $f(x) = x^2 - 6x - 91$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 91 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-7, 13]$.

2. Внешний корень (уменьшаемое неотрицательно всегда, проверим вычитаемое): $20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2} \ge 0$.

$20 \ge 2\sqrt{91 + 6x - x^2}$

$10 \ge \sqrt{91 + 6x - x^2}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$100 \ge 91 + 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

$(x-3)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного $x$.

Итак, ОДЗ для $x$ — это отрезок $[-7, 13]$. По условию задачи, $x$ должен быть целым числом.

Теперь упростим выражение для функции $y$. Заметим, что первый корень не меньше второго, поэтому $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2}}\right)^2$

$y^2 = (20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}) - 2\sqrt{(20 + 2\sqrt{...})(20 - 2\sqrt{...})} + (20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2})$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{20^2 - (2\sqrt{91 + 6x - x^2})^2}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{400 - 4(91 + 6x - x^2)}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{400 - 364 - 24x + 4x^2}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{36 - 24x + 4x^2}$

Вынесем 4 из-под корня:

$y^2 = 40 - 2\sqrt{4(9 - 6x + x^2)}$

$y^2 = 40 - 2 \cdot 2\sqrt{(x-3)^2}$

$y^2 = 40 - 4|x-3|$

Поскольку $y \ge 0$, то $y = \sqrt{40 - 4|x-3|}$.

Мы ищем целые значения $x$, при которых $y$ также принимает целые значения. Пусть $y = k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

$k^2 = 40 - 4|x-3|$

$k^2 = 4(10 - |x-3|)$

Из этого уравнения следует, что $k^2$ должно быть полным квадратом, делящимся на 4. Это означает, что $10 - |x-3|$ также должно быть полным квадратом. Обозначим $10 - |x-3| = m^2$, где $m$ — целое неотрицательное число.

Поскольку $x$ — целое число из отрезка $[-7, 13]$, то $|x-3|$ — целое число из отрезка $[0, 10]$. Следовательно, $m^2 = 10 - |x-3|$ может принимать значения $0, 1, 4, 9$.

Рассмотрим каждый случай:

1. $10 - |x-3| = 0 \implies |x-3| = 10$. Отсюда $x-3 = 10$ или $x-3 = -10$. Получаем $x=13$ и $x=-7$.

2. $10 - |x-3| = 1 \implies |x-3| = 9$. Отсюда $x-3 = 9$ или $x-3 = -9$. Получаем $x=12$ и $x=-6$.

3. $10 - |x-3| = 4 \implies |x-3| = 6$. Отсюда $x-3 = 6$ или $x-3 = -6$. Получаем $x=9$ и $x=-3$.

4. $10 - |x-3| = 9 \implies |x-3| = 1$. Отсюда $x-3 = 1$ или $x-3 = -1$. Получаем $x=4$ и $x=2$.

Все найденные значения $x$ являются целыми и лежат в области допустимых значений.

Ответ: -7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13.

1116. Найдите все целые значения функции

$y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$

которые она принимает при целых $x$.

Для нахождения всех целых значений функции $y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$ при целых значениях $x$, первым делом определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными.
Во-первых, под внутренним корнем: $35 + 2x - x^2 \ge 0$. Это равносильно $x^2 - 2x - 35 \le 0$. Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 35$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x)=x^2-2x-35$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $-5 \le x \le 7$.

Во-вторых, под внешним корнем: $12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$. Перенесем слагаемое и разделим на 2: $6 \ge \sqrt{35 + 2x - x^2}$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $36 \ge 35 + 2x - x^2$, что приводит к неравенству $x^2 - 2x + 1 \ge 0$, или $(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного $x$.

Таким образом, область определения функции с учетом того, что $x$ — целое число, это множество $x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Теперь упростим выражение для $y$. Заметим, что $y$ является разностью $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, где $A \ge B$, поэтому $y \ge 0$. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$y^2 = \left( \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} \right)^2$
$y^2 = (12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) + (12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) - 2 \sqrt{(12 + 2\sqrt{35+2x-x^2})(12 - 2\sqrt{35+2x-x^2})}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{12^2 - (2\sqrt{35 + 2x - x^2})^2}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{144 - 4(35 + 2x - x^2)}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{144 - 140 - 8x + 4x^2}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{4x^2 - 8x + 4}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{4(x^2 - 2x + 1)}$
$y^2 = 24 - 2 \cdot 2 |x - 1|$
$y^2 = 24 - 4|x - 1|$

Поскольку мы установили, что $y \ge 0$, то $y = \sqrt{24 - 4|x-1|} = \sqrt{4(6 - |x-1|)} = 2\sqrt{6 - |x-1|}$.

Мы ищем целые значения $y$ при целых $x$. Для того чтобы $y = 2\sqrt{6 - |x - 1|}$ было целым, необходимо, чтобы выражение $6 - |x - 1|$ являлось полным квадратом, так как $x$ — целое, а значит и $6 - |x - 1|$ — целое число.

Поскольку $x$ принимает целые значения из отрезка $[-5, 7]$, то $|x-1|$ принимает целые значения от $0$ (при $x=1$) до $6$ (при $x=-5$ и $x=7$). Соответственно, выражение $6 - |x-1|$ принимает целые значения от $0$ до $6$.

Найдём, какие из этих значений являются полными квадратами. В диапазоне $[0, 6]$ это числа $0, 1, 4$. Рассмотрим каждый случай:
1. Если $6 - |x - 1| = 0$, то $|x - 1| = 6$. Это происходит при $x = 7$ или $x = -5$. В этом случае $y = 2\sqrt{0} = 0$.
2. Если $6 - |x - 1| = 1$, то $|x - 1| = 5$. Это происходит при $x = 6$ или $x = -4$. В этом случае $y = 2\sqrt{1} = 2$.
3. Если $6 - |x - 1| = 4$, то $|x - 1| = 2$. Это происходит при $x = 3$ или $x = -1$. В этом случае $y = 2\sqrt{4} = 4$.

Таким образом, функция принимает целые значения 0, 2 и 4 при целых значениях $x$.

Ответ: 0, 2, 4.

1117. Представьте многочлен $x^8 + x^4 + 1$ в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

Для того чтобы разложить многочлен $x^8 + x^4 + 1$ на четыре множителя ненулевой степени, мы будем использовать метод выделения полного квадрата и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1. Сначала представим исходный многочлен в виде разности квадратов. Для этого добавим и вычтем $x^4$:

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^4 + 1)^2$, поэтому получаем:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применяя формулу разности квадратов, получаем произведение двух многочленов:

$(x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

2. Теперь необходимо разложить на множители каждый из полученных многочленов.

Разложим многочлен $x^4 + x^2 + 1$. Снова применим метод выделения полного квадрата, добавив и вычтя $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

По формуле разности квадратов:

$(x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3. Разложим многочлен $x^4 - x^2 + 1$. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя $3x^2$:

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

По формуле разности квадратов:

$(x^2 + 1 - \sqrt{3}x)(x^2 + 1 + \sqrt{3}x) = (x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

4. Объединив все полученные множители, мы представляем исходный многочлен в виде произведения четырех многочленов второй степени, то есть ненулевой степени.

$x^8 + x^4 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

1118. Упростите выражение $\frac{(p^2 - \frac{1}{q^2})^p (p - \frac{1}{q})^{q-p}}{(q^2 - \frac{1}{p^2})^q (q + \frac{1}{p})^{p-q}}$. Укажите допустимые

значения переменных.

Упростите выражение

Заданное выражение: $$ \frac{\left(p^2 - \frac{1}{q^2}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$ Для упрощения преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Сначала преобразуем числитель. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $p^2 - \frac{1}{q^2}$:
$p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)$.
Подставим это в выражение для числителя:
$ \left(\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} $.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^a x^b = x^{a+b}$:
$ \left(p - \frac{1}{q}\right)^{p + (q-p)} \left(p + \frac{1}{q}\right)^p = \left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p $.

Теперь преобразуем знаменатель. Аналогично, для $q^2 - \frac{1}{p^2}$:
$ q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right) $.
Подставим в выражение для знаменателя:
$ \left(\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} = \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} $.
Группируем степени:
$ \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{q + (p-q)} = \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь: $$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} $$ Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$ p - \frac{1}{q} = \frac{pq - 1}{q} $, $ p + \frac{1}{q} = \frac{pq + 1}{q} $
$ q - \frac{1}{p} = \frac{pq - 1}{p} $, $ q + \frac{1}{p} = \frac{pq + 1}{p} $
Подставим это в дробь: $$ \frac{\left(\frac{pq - 1}{q}\right)^q \left(\frac{pq + 1}{q}\right)^p}{\left(\frac{pq - 1}{p}\right)^q \left(\frac{pq + 1}{p}\right)^p} $$ Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство произведения степеней $a^n b^n = (ab)^n$: $$ \frac{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^q q^p}}{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{p^q p^p}} = \frac{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^{p+q}}}{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{p^{p+q}}} $$ Для деления дробей, умножим числитель на перевернутый знаменатель и сократим одинаковые множители $(pq - 1)^q (pq + 1)^p$: $$ \frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^{p+q}} \cdot \frac{p^{p+q}}{(pq - 1)^q (pq + 1)^p} = \frac{p^{p+q}}{q^{p+q}} $$ Используя свойство степени в обратном порядке, получаем окончательный результат: $$ \left(\frac{p}{q}\right)^{p+q} $$

Ответ: $\left(\frac{p}{q}\right)^{p+q}$

Укажите допустимые значения переменных

Для того чтобы исходное выражение было определено, необходимо, чтобы все знаменатели и все основания степеней были отличны от нуля.

1. Наличие в выражении дробей $\frac{1}{p^2}$ и $\frac{1}{q^2}$ накладывает условия: $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

2. Основания степеней в выражении должны быть не равны нулю:
$p^2 - \frac{1}{q^2} \neq 0 \implies p^2q^2 \neq 1 \implies pq \neq \pm 1$.
$p - \frac{1}{q} \neq 0 \implies pq \neq 1$.
$q^2 - \frac{1}{p^2} \neq 0 \implies p^2q^2 \neq 1 \implies pq \neq \pm 1$.
$q + \frac{1}{p} \neq 0 \implies pq \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем, что $p$ и $q$ не могут быть нулями, а их произведение не должно быть равно $1$ или $-1$.

Ответ: $p \neq 0, q \neq 0, pq \neq \pm 1$.

1119. Функция $y$ от $x$ задана формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $ad - bc \neq 0$.

Пусть значениям аргумента $x_1, x_2, x_3$ и $x_4$ соответствуют значения функции $y_1, y_2, y_3$ и $y_4$. Докажите, что

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}$

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что левая часть равна правой. Начнем с преобразования левой части. Выражение, которое нужно доказать, называется инвариантностью двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Сначала найдем общее выражение для разности двух значений функции $y_i - y_j$, где $i$ и $j$ — любые различные индексы из {1, 2, 3, 4}.

По определению функции $y(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, имеем:

$y_i - y_j = \frac{ax_i+b}{cx_i+d} - \frac{ax_j+b}{cx_j+d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(cx_i+d)(cx_j+d)$:

$y_i - y_j = \frac{(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(ax_i+b)(cx_j+d) = acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd$

$(ax_j+b)(cx_i+d) = acx_jx_i + adx_j + bcx_i + bd$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd) - (acx_ix_j + adx_j + bcx_i + bd) = adx_i + bcx_j - adx_j - bcx_i$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы выделить общий множитель $(x_i - x_j)$:

$adx_i - adx_j - bcx_i + bcx_j = ad(x_i - x_j) - bc(x_i - x_j) = (ad-bc)(x_i - x_j)$

Таким образом, мы получили общую формулу для разности значений функции:

$y_i - y_j = \frac{(ad-bc)(x_i - x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Теперь преобразуем левую часть доказываемого равенства. Знак ":" обозначает деление, поэтому равенство можно переписать в виде:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Рассмотрим первый множитель в левой части, подставив в него полученную формулу для разности:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} = \frac{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}} = \frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(cx_3+d)(cx_2+d)}{(ad-bc)(x_3 - x_2)}$

Сокращая одинаковые множители $(ad-bc)$ и $(cx_3+d)$ (что возможно, так как $ad-bc \ne 0$ и $x_3$ не является полюсом функции), получаем:

$\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}$

Аналогично преобразуем второй множитель в левой части:

$\frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}} = \frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)} \cdot \frac{(cx_4+d)(cx_1+d)}{(ad-bc)(x_4 - x_1)}$

После сокращения $(ad-bc)$ и $(cx_4+d)$ получаем:

$\frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} = \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти всю левую часть:

$\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}\right) \cdot \left(\frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$

В этом произведении множители $\frac{cx_2+d}{cx_1+d}$ и $\frac{cx_1+d}{cx_2+d}$ являются взаимно обратными, и их произведение равно 1. Таким образом, вся левая часть упрощается до:

$\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Правая часть исходного равенства после замены знака деления ":" на умножение имеет вид:

$\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}$

Сравнивая преобразованную левую часть и правую часть, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} : \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}$ доказано. Что и требовалось доказать.

1120. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению $x^2 - y^2 = 69$.

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 69$, в котором $x$ и $y$ — натуральные числа.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 69$

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа, значит $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Следовательно, сумма $x+y$ является натуральным числом, и $x+y \ge 2$.
Множитель $x-y$ является целым числом. Поскольку произведение $(x-y)(x+y)=69$ положительно и $x+y>0$, то и $x-y$ должно быть положительным. Это значит, что $x>y$, и $x-y$ также является натуральным числом.
Таким образом, мы ищем два натуральных числа, $(x-y)$ и $(x+y)$, произведение которых равно 69.

Обозначим $a = x-y$ и $b = x+y$. Так как $y$ — натуральное число, $y \ge 1$, то $b = x+y > x-y = a$.

Задача свелась к нахождению пар натуральных множителей $a$ и $b$ числа 69, для которых $a < b$.

Найдем все натуральные делители числа 69: 1, 3, 23, 69.
Составим из них пары $(a,b)$ так, чтобы $a \cdot b = 69$ и $a < b$:

1) $a=1, b=69$

2) $a=3, b=23$

Теперь для каждой пары найдем соответствующие значения $x$ и $y$, решив систему уравнений.

Случай 1: $x-y=1$ и $x+y=69$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 1+69$, что дает $2x=70$, и $x=35$.
Подставим $x=35$ во второе уравнение: $35+y=69$, откуда $y=34$.
Получили пару натуральных чисел $(35, 34)$. Проверим: $35^2 - 34^2 = 1225 - 1156 = 69$. Решение верное.

Случай 2: $x-y=3$ и $x+y=23$

Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 3+23$, что дает $2x=26$, и $x=13$.
Подставим $x=13$ во второе уравнение: $13+y=23$, откуда $y=10$.
Получили пару натуральных чисел $(13, 10)$. Проверим: $13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$. Решение верное.

Других пар натуральных множителей у числа 69 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(35, 34)$, $(13, 10)$.

1121. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида $a+b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Пусть даны два числа указанного вида: $x_1 = a_1 + b_1\sqrt{2}$ и $x_2 = a_2 + b_2\sqrt{2}$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — рациональные числа.

Сумма

Найдем сумму этих чисел:

$x_1 + x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1 + a_2$ и $d = b_1 + b_2$. Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, сумма представлена в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Сумма чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлена в таком же виде.

Разность

Найдем разность этих чисел:

$x_1 - x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2}) - (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1 - a_2$ и $d = b_1 - b_2$. Так как разность рациональных чисел является рациональным числом, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, разность представлена в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Разность чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлена в таком же виде.

Произведение

Найдем произведение этих чисел:

$x_1 \cdot x_2 = (a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + b_1a_2\sqrt{2} + b_1b_2(\sqrt{2})^2 = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$

Обозначим $c = a_1a_2 + 2b_1b_2$ и $d = a_1b_2 + a_2b_1$. Так как произведение и сумма рациональных чисел являются рациональными числами, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, произведение представлено в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Произведение чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлено в таком же виде.

Частное

Найдем частное этих чисел, при условии, что делитель $x_2$ не равен нулю ($x_2 = a_2 + b_2\sqrt{2} \neq 0$). Это означает, что $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно.

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1 + b_1\sqrt{2}}{a_2 + b_2\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $a_2 - b_2\sqrt{2}$:

$\frac{(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})}{(a_2 + b_2\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})} = \frac{a_1a_2 - a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} - 2b_1b_2}{a_2^2 - (b_2\sqrt{2})^2} = \frac{(a_1a_2 - 2b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)\sqrt{2}}{a_2^2 - 2b_2^2}$

Это можно записать в виде:

$\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\sqrt{2}$

Знаменатель $a_2^2 - 2b_2^2$ не равен нулю, так как если бы он был равен нулю, то $a_2^2 = 2b_2^2$. Для ненулевых рациональных $a_2, b_2$ это означало бы, что $\sqrt{2} = |a_2/b_2|$, а это невозможно, так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Если $b_2=0$, то и $a_2=0$, что противоречит условию $x_2 \neq 0$.

Обозначим $c = \frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ и $d = \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$. Так как все операции (сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число) над рациональными числами дают в результате рациональное число, то $c$ и $d$ — рациональные числа. Следовательно, частное представлено в виде $c + d\sqrt{2}$, где $c$ и $d$ — рациональные числа.

Ответ: Частное чисел вида $a + b\sqrt{2}$ может быть представлено в таком же виде.

1122. Пара чисел $x = 3, y = 2$ является решением уравнения $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2})=1$. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

Данное уравнение $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = 1$ можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применим ее к левой части уравнения, где $a = x$ и $b = y\sqrt{2}$:

$x^2 - (y\sqrt{2})^2 = 1$

$x^2 - 2y^2 = 1$

Это диофантово уравнение, известное как уравнение Пелля. Нам дано, что пара натуральных чисел $x = 3, y = 2$ является решением. Проверим это, подставив значения в преобразованное уравнение:

$3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.

Равенство верно, значит, пара $(3, 2)$ действительно является решением.

Для доказательства существования бесконечного множества других пар натуральных чисел, являющихся решениями, воспользуемся свойством уравнения Пелля. Если $(x_1, y_1)$ — это какое-либо натуральное решение уравнения $x^2 - Dy^2 = 1$ (где $D$ — не является полным квадратом), то бесконечное множество других решений $(x_n, y_n)$ можно получить из следующего соотношения:

$x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n$, где $n$ — любое натуральное число.

В нашем случае $D=2$, а начальное решение $(x_1, y_1) = (3, 2)$. Таким образом, мы можем утверждать, что новые решения $(x_n, y_n)$ будут генерироваться формулой:

$x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$

Давайте докажем, что любая пара $(x_n, y_n)$, полученная таким образом, удовлетворяет исходному уравнению. Для этого рассмотрим также сопряженное выражение: $x_n - y_n\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^n$. Перемножив эти два равенства, получим:

$(x_n + y_n\sqrt{2})(x_n - y_n\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2})^n(3 - 2\sqrt{2})^n$

$x_n^2 - 2y_n^2 = ((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}))^n$

$x_n^2 - 2y_n^2 = (3^2 - (2\sqrt{2})^2)^n = (9 - 8)^n = 1^n = 1$.

Это доказывает, что для любого натурального $n$ пара чисел $(x_n, y_n)$ является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$.

Теперь необходимо показать, что $x_n$ и $y_n$ являются натуральными числами для любого натурального $n$ и что все эти пары различны.

Рассмотрим несколько первых значений $n$:

При $n=1$: $x_1 + y_1\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^1$, что дает нам исходное решение $(x_1, y_1) = (3, 2)$.

При $n=2$: $x_2 + y_2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$. Отсюда получаем новое решение $(x_2, y_2) = (17, 12)$. Оба числа являются натуральными.

При $n=3$: $x_3 + y_3\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^3 = (17 + 12\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 51 + 34\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 48 = 99 + 70\sqrt{2}$. Новое решение: $(x_3, y_3) = (99, 70)$.

В общем виде, если мы имеем решение $(x_k, y_k)$, то следующее решение $(x_{k+1}, y_{k+1})$ можно найти так: $x_{k+1} + y_{k+1}\sqrt{2} = (x_k + y_k\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = (3x_k + 4y_k) + (2x_k + 3y_k)\sqrt{2}$. Отсюда $x_{k+1} = 3x_k + 4y_k$ и $y_{k+1} = 2x_k + 3y_k$.

Поскольку мы начинаем с натуральных чисел $x_1=3, y_1=2$, и на каждом шаге новые $x_{k+1}, y_{k+1}$ получаются путем сложения и умножения предыдущих натуральных чисел, все $x_n$ и $y_n$ будут натуральными.

Кроме того, поскольку $x_{k+1} > x_k$ и $y_{k+1} > y_k$ для всех $k \ge 1$, каждая новая пара $(x_n, y_n)$ будет отличаться от всех предыдущих. Это означает, что для каждого натурального $n$ мы получаем уникальное решение.

Так как множество натуральных чисел $n$ бесконечно, мы можем сгенерировать бесконечное число различных пар натуральных чисел $(x_n, y_n)$, удовлетворяющих данному уравнению.

Ответ: Показано, что исходное уравнение эквивалентно уравнению Пелля $x^2 - 2y^2 = 1$. На основе начального решения $(3, 2)$ можно построить бесконечную последовательность различных решений $(x_n, y_n)$, где $x_n$ и $y_n$ определяются из соотношения $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$ для всех натуральных $n \ge 1$. Поскольку для каждого натурального $n$ получаются новые пары натуральных чисел, то существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

1123. При каком значении $m$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + x + m = 0$ равна 13?

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 13. Запишем это в виде математического выражения: $x_1^2 + x_2^2 = 13$.

Для нахождения связи между корнями и коэффициентами уравнения воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Для нашего уравнения $x^2 + x + m = 0$ коэффициенты равны $p = 1$ и $q = m$. Применим теорему Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Отсюда $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Применительно к нашим корням:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив в него известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 13$, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1x_2 = m$.
$13 = (-1)^2 - 2 \cdot m$
$13 = 1 - 2m$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:
$2m = 1 - 13$
$2m = -12$
$m = \frac{-12}{2}$
$m = -6$

Убедимся, что при данном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 - 4m$
Подставим $m = -6$:
$D = 1 - 4(-6) = 1 + 24 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, найденное значение $m$ является верным.

Ответ: -6

1124. Решите уравнение $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$ относительно $x$.

Преобразуем исходное уравнение $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$.

Раскроем скобки в левой части:

$$x^4 - 2a^2x^2 + a^4 = 4ax + 1$$

Перенесем слагаемое $-2a^2x^2$ из левой части в правую:

$$x^4 + a^4 = 2a^2x^2 + 4ax + 1$$

Чтобы получить в левой части полный квадрат, прибавим к обеим частям уравнения $2a^2x^2$:

$$x^4 + 2a^2x^2 + a^4 = 2a^2x^2 + 2a^2x^2 + 4ax + 1$$

Теперь левую часть можно свернуть как квадрат суммы $(x^2 + a^2)$, а правую часть упростить:

$$(x^2 + a^2)^2 = 4a^2x^2 + 4ax + 1$$

Заметим, что выражение в правой части также является полным квадратом: $4a^2x^2 + 4ax + 1 = (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot 1 + 1^2 = (2ax + 1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$$(x^2 + a^2)^2 = (2ax + 1)^2$$

Равенство квадратов двух выражений означает, что сами выражения либо равны, либо противоположны по знаку. Это приводит к совокупности двух уравнений. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Выражения равны.

$$x^2 + a^2 = 2ax + 1$$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$$(x - a)^2 - 1 = 0$$

$$(x - a)^2 = 1$$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$$x - a = 1 \quad \Rightarrow \quad x = a + 1$$

$$x - a = -1 \quad \Rightarrow \quad x = a - 1$$

Случай 2: Выражения противоположны.

$$x^2 + a^2 = -(2ax + 1)$$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$$x^2 + a^2 = -2ax - 1$$

$$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0$$

Сгруппируем первые три слагаемых:

$$(x + a)^2 + 1 = 0$$

$$(x + a)^2 = -1$$

В области действительных чисел это уравнение решений не имеет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Однако в области комплексных чисел мы можем найти корни. Извлекая корень, получаем:

$$x + a = \pm \sqrt{-1}$$

$$x + a = \pm i$$

где $i$ — мнимая единица. Отсюда находим еще два комплексных корня:

$$x = -a + i$$

$$x = -a - i$$

Объединяя решения из двух случаев, получаем все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $x = a \pm 1, \quad x = -a \pm i$.

1125. Найдите наименьшее значение выражения

$(a - 1)(a - 2)(a - 5)(a - 6) + 9.$

Для нахождения наименьшего значения выражения $(a-1)(a-2)(a-5)(a-6) + 9$ выполним ряд преобразований.

Сначала сгруппируем множители так, чтобы при их попарном перемножении получились одинаковые выражения, содержащие $a^2$ и $a$. Для этого заметим, что суммы свободных членов в парах $(a-1)$ и $(a-6)$, а также $(a-2)$ и $(a-5)$ равны:
$-1 + (-6) = -7$
$-2 + (-5) = -7$

Перегруппируем множители в соответствии с этим наблюдением:
$[(a-1)(a-6)] \cdot [(a-2)(a-5)] + 9$

Теперь раскроем скобки внутри каждой группы:
$(a-1)(a-6) = a^2 - 6a - a + 6 = a^2 - 7a + 6$
$(a-2)(a-5) = a^2 - 5a - 2a + 10 = a^2 - 7a + 10$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 10) + 9$

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $x = a^2 - 7a$. Тогда выражение примет вид:
$(x+6)(x+10) + 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в этом выражении:
$x^2 + 10x + 6x + 60 + 9 = x^2 + 16x + 69$

Мы получили квадратичную функцию от $x$. Ее наименьшее значение можно найти, выделив полный квадрат. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх.
$x^2 + 16x + 69 = (x^2 + 16x + 64) - 64 + 69 = (x+8)^2 + 5$

Наименьшее значение выражения $(x+8)^2$ равно 0, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это значение достигается при $x+8=0$, то есть при $x=-8$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+8)^2 + 5$ равно $0+5=5$.

Теперь необходимо убедиться, что значение $x=-8$ является достижимым для действительного числа $a$. Для этого решим уравнение, полученное из замены:
$a^2 - 7a = -8$
$a^2 - 7a + 8 = 0$

Для проверки существования действительных корней у этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$
Так как $D=17 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что существуют такие значения $a$, при которых $x$ принимает значение $-8$.

Таким образом, наименьшее значение исходного выражения действительно равно 5.

Ответ: 5