Страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1076. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:

a) $-5, -8, 6, 7, 4, 3;$

б) $1, 0, 3, 0, 6, 4.$

а) Для ряда чисел: –5, –8, 6, 7, 4, 3. Всего 6 чисел ($n=6$).
Сначала найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{-5 + (-8) + 6 + 7 + 4 + 3}{6} = \frac{7}{6}$.
Затем вычислим дисперсию ($D$) — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения. Найдем квадраты отклонений для каждого числа:
$(-5 - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{30}{6} - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{37}{6})^2 = \frac{1369}{36}$;
$(-8 - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{48}{6} - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{55}{6})^2 = \frac{3025}{36}$;
$(6 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{36}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{29}{6})^2 = \frac{841}{36}$;
$(7 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{42}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{35}{6})^2 = \frac{1225}{36}$;
$(4 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{24}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{17}{6})^2 = \frac{289}{36}$;
$(3 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{18}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$.
Сумма квадратов отклонений равна: $\frac{1369 + 3025 + 841 + 1225 + 289 + 121}{36} = \frac{6870}{36}$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$:
$D = \frac{6870/36}{6} = \frac{6870}{216} = \frac{1145}{36}$.
Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{1145}{36}} = \frac{\sqrt{1145}}{6}$.
Ответ: дисперсия $\frac{1145}{36}$; среднее квадратичное отклонение $\frac{\sqrt{1145}}{6}$.

б) Для ряда чисел: 1, 0, 3, 0, 6, 4. Всего 6 чисел ($n=6$).
Сначала найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{1 + 0 + 3 + 0 + 6 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Затем вычислим дисперсию ($D$). Найдем квадраты отклонений для каждого числа:
$(1 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{3}{3} - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$;
$(0 - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$;
$(3 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{9}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$;
$(0 - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$;
$(6 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{18}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9}$;
$(4 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{12}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$.
Сумма квадратов отклонений равна: $\frac{16 + 49 + 4 + 49 + 121 + 25}{9} = \frac{264}{9}$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$:
$D = \frac{264/9}{6} = \frac{264}{54} = \frac{44}{9}$.
Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{44}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{3} = \frac{2\sqrt{11}}{3}$.
Ответ: дисперсия $\frac{44}{9}$; среднее квадратичное отклонение $\frac{2\sqrt{11}}{3}$.

1077. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.

Поставленная задача не имеет единственного решения, поскольку значение среднего квадратичного отклонения (СКО) напрямую зависит от конкретных чисел, из которых составлен ряд. Термин "произвольный ряд" означает, что мы можем выбрать любые пять двузначных чисел (целые числа от 10 до 99 включительно), и для каждого такого набора СКО будет своим.

Среднее квадратичное отклонение для выборки размером $n$ рассчитывается по формуле:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Здесь $n=5$ — количество чисел в ряду, $x_i$ — это числа в ряду, а $\bar{x}$ — их среднее арифметическое. Чтобы показать, как меняется результат в зависимости от выбора чисел, рассмотрим несколько примеров.

1. Ряд с минимальным отклонением

Если выбрать ряд, состоящий из пяти одинаковых чисел, например $\{42, 42, 42, 42, 42\}$, то разброс данных будет отсутствовать. Среднее арифметическое $\bar{x}$ будет равно 42, и все отклонения $(x_i - \bar{x})$ будут равны нулю. Следовательно, и среднее квадратичное отклонение для такого ряда будет равно 0. Это минимально возможное значение СКО.

2. Ряд с максимальным отклонением

Чтобы максимизировать разброс, нужно брать значения с краев диапазона [10, 99]. Максимальное СКО для пяти чисел достигается, когда три числа равны одному крайнему значению, а два — другому. Например, рассмотрим ряд $\{10, 10, 10, 99, 99\}$.

Сначала найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 10 + 2 \cdot 99}{5} = \frac{30 + 198}{5} = \frac{228}{5} = 45.6$

Далее рассчитаем дисперсию (квадрат СКО):

$\sigma^2 = \frac{3 \cdot (10 - 45.6)^2 + 2 \cdot (99 - 45.6)^2}{5} = \frac{3 \cdot (-35.6)^2 + 2 \cdot (53.4)^2}{5} = \frac{3 \cdot 1267.36 + 2 \cdot 2851.56}{5} = \frac{3802.08 + 5703.12}{5} = \frac{9505.2}{5} = 1901.04$

Теперь найдем СКО, извлекая корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{1901.04} = 43.6$

Это максимально возможное значение СКО для ряда из пяти двузначных чисел.

3. Другой произвольный ряд

Для любого другого ряда, например $\{15, 23, 50, 78, 88\}$, СКО будет иметь промежуточное значение. Для этого ряда оно составит приблизительно 28.91.

Таким образом, дать единственный численный ответ на поставленный вопрос невозможно без уточнения, о каком именно ряде идет речь.

Ответ: Задача в такой формулировке не имеет однозначного решения. Среднее квадратичное отклонение зависит от конкретных чисел в ряду. Его значение для ряда из пяти двузначных чисел может варьироваться в диапазоне от 0 (для ряда из одинаковых чисел) до 43.6 (для ряда, составленного из чисел 10 и 99).

1078. Как изменится дисперсия ряда чисел

$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6,$

если каждое число увеличить на положительное число $a$?

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и $a = 4$.

Выскажите предположение и проведите доказательство.

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, –1, –2 и a = 4.

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии $D$ для ряда из $n$ чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ со средним значением $\bar{x}$ имеет вид:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

1. Найдем дисперсию для исходного ряда: 1, 3, 6, 8, –1, –2.

Сначала вычислим среднее арифметическое ряда ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1 + 3 + 6 + 8 + (-1) + (-2)}{6} = \frac{15}{6} = 2.5$

Теперь вычислим квадраты отклонений от среднего:

• $(1 - 2.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
• $(3 - 2.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $(6 - 2.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25$
• $(8 - 2.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25$
• $(-1 - 2.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25$
• $(-2 - 2.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25$

Найдем сумму квадратов отклонений:

$2.25 + 0.25 + 12.25 + 30.25 + 12.25 + 20.25 = 77.5$

Вычислим дисперсию $D_1$:

$D_1 = \frac{77.5}{6} = \frac{155}{12} \approx 12.92$

2. Теперь увеличим каждое число ряда на $a = 4$ и найдем дисперсию нового ряда.

Новый ряд чисел:

• $1 + 4 = 5$
• $3 + 4 = 7$
• $6 + 4 = 10$
• $8 + 4 = 12$
• $-1 + 4 = 3$
• $-2 + 4 = 2$

Получился ряд: 5, 7, 10, 12, 3, 2.

Вычислим его среднее арифметическое ($\bar{y}$):

$\bar{y} = \frac{5 + 7 + 10 + 12 + 3 + 2}{6} = \frac{39}{6} = 6.5$

Вычислим квадраты отклонений от нового среднего:

• $(5 - 6.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
• $(7 - 6.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $(10 - 6.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25$
• $(12 - 6.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25$
• $(3 - 6.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25$
• $(2 - 6.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25$

Сумма квадратов отклонений:

$2.25 + 0.25 + 12.25 + 30.25 + 12.25 + 20.25 = 77.5$

Вычислим дисперсию $D_2$ для нового ряда:

$D_2 = \frac{77.5}{6} = \frac{155}{12} \approx 12.92$

Как видно из расчетов, $D_1 = D_2$. Дисперсия не изменилась.

Ответ: На данном примере дисперсия ряда не изменилась.

Выскажите предположение

Предположение: если каждое число ряда увеличить на некоторое число $a$, то дисперсия ряда не изменится. Это свойство не зависит от того, является ли число $a$ положительным.

Ответ: Дисперсия ряда не изменится.

проведите доказательство.

Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Его среднее арифметическое равно:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Его дисперсия равна:

$D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Создадим новый ряд чисел $y_1, y_2, \ldots, y_n$, увеличив каждый элемент исходного ряда на число $a$:

$y_i = x_i + a$

Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i + a)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + na}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} + \frac{na}{n} = \bar{x} + a$

Таким образом, среднее арифметическое нового ряда также увеличилось на $a$.

Теперь найдем дисперсию нового ряда $D_y$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}{n}$

Подставим в формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}((x_i + a) - (\bar{x} + a))^2}{n}$

Раскроем скобки в числителе:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i + a - \bar{x} - a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Полученное выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_y = D_x$.

Это доказывает, что прибавление одного и того же числа ко всем элементам ряда не изменяет его дисперсию. Дисперсия является мерой разброса данных относительно среднего, а сдвиг всех данных на одну и ту же величину не меняет их разброс.

Ответ: Доказано, что дисперсия ряда не изменится, если к каждому его элементу прибавить одно и то же число $a$.

1079. Вычислите:

а) $-0,25^{-2} \cdot 100;$

б) $0,01 \cdot (-0,5)^{-3};$

в) $0,2^{-4} \cdot (-1,6);$

г) $0,1^{-1} + 1,1^0;$

д) $3\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} - 0,5;$

е) $-4^{-1} \cdot 5 + 2,5^2;$

ж) $(-0,2)^3 \cdot (-0,1)^2;$

з) $-6^{-1} \cdot 36^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3;$

и) $-(-1)^0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^5.$

а) Для вычисления выражения $-0,25^{-2} \cdot 100$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Обратите внимание, что минус перед числом не возводится в степень.

$-0,25^{-2} \cdot 100 = -(0,25)^{-2} \cdot 100 = -(\frac{1}{4})^{-2} \cdot 100 = -(\frac{4}{1})^2 \cdot 100 = -4^2 \cdot 100 = -16 \cdot 100 = -1600$.

Ответ: $-1600$.

б) В выражении $0,01 \cdot (-0,5)^{-3}$ преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,01 \cdot (-0,5)^{-3} = \frac{1}{100} \cdot (-\frac{1}{2})^{-3} = \frac{1}{100} \cdot (-\frac{2}{1})^3 = \frac{1}{100} \cdot (-8) = -\frac{8}{100} = -0,08$.

Ответ: $-0,08$.

в) В выражении $0,2^{-4} \cdot (-1,6)$ преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,2^{-4} \cdot (-1,6) = (\frac{2}{10})^{-4} \cdot (-\frac{16}{10}) = (\frac{1}{5})^{-4} \cdot (-\frac{8}{5}) = 5^4 \cdot (-\frac{8}{5}) = 625 \cdot (-\frac{8}{5}) = \frac{625 \cdot (-8)}{5} = 125 \cdot (-8) = -1000$.

Ответ: $-1000$.

г) В выражении $0,1^{-1} + 1,1^0$ воспользуемся свойствами степени: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $a^0=1$ для любого $a \neq 0$.

$0,1^{-1} + 1,1^0 = (\frac{1}{10})^{-1} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: $11$.

д) Для вычисления выражения $3\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{-2} - 0,5$ преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные.

$3\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{-2} - 0,5 = \frac{10}{3} \cdot (\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{9}{4} - \frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 9}{3 \cdot 4} - \frac{1}{2} = \frac{90}{12} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2} - \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: $7$.

е) В выражении $-4^{-1} \cdot 5 + 2,5^2$ минус перед $4^{-1}$ не относится к основанию степени.

$-4^{-1} \cdot 5 + 2,5^2 = -(4^{-1}) \cdot 5 + (2,5)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 5 + (\frac{5}{2})^2 = -\frac{5}{4} + \frac{25}{4} = \frac{-5+25}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Ответ: $5$.

ж) Вычислим степени, а затем их произведение.

$(-0,2)^3 = -0,008$

$(-0,1)^2 = 0,01$

$(-0,2)^3 \cdot (-0,1)^2 = -0,008 \cdot 0,01 = -0,00008$.

Ответ: $-0,00008$.

з) В выражении $-6^{-1} \cdot 36^2 \cdot (\frac{1}{6})^3$ представим все сомножители в виде степеней числа 6.

$-6^{-1} \cdot 36^2 \cdot (\frac{1}{6})^3 = -6^{-1} \cdot (6^2)^2 \cdot 6^{-3} = -6^{-1} \cdot 6^4 \cdot 6^{-3}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $-6^{-1+4-3} = -6^0 = -1$.

Ответ: $-1$.

и) В выражении $-(-1)^0 \cdot (-\frac{1}{3})^5$ сначала вычислим значения степеней.

$(-1)^0 = 1$.

$(-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1^5}{3^5} = -\frac{1}{243}$.

Теперь подставим значения в выражение: $-(-1)^0 \cdot (-\frac{1}{3})^5 = -(1) \cdot (-\frac{1}{243}) = -1 \cdot (-\frac{1}{243}) = \frac{1}{243}$.

Ответ: $\frac{1}{243}$.

1080. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями:

а) $ \frac{am^{-2}}{a^{-1}b} $

б) $ \frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} $

в) $ \frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} $

а) Для преобразования выражения $\frac{am^{-2}}{a^{-1}b}$ необходимо избавиться от степеней с отрицательными показателями. Воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и, соответственно, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

Множитель $m^{-2}$ находится в числителе, поэтому мы переносим его в знаменатель, изменив знак показателя на положительный. Получаем $m^2$ в знаменателе.

Множитель $a^{-1}$ находится в знаменателе, поэтому мы переносим его в числитель, изменив знак показателя на положительный. Получаем $a^1$ (или просто $a$) в числителе.

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$\frac{am^{-2}}{a^{-1}b} = \frac{a \cdot a^1}{b \cdot m^2} = \frac{a^{1+1}}{bm^2} = \frac{a^2}{bm^2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{bm^2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)}$.

В этом выражении есть только один множитель с отрицательным показателем степени — это $b^{-1}$ в знаменателе.

Используя правило $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, перенесем множитель $b^{-1}$ из знаменателя в числитель. При этом показатель степени изменит знак и станет $1$.

Получаем следующее преобразование:

$\frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} = \frac{(a+b)b \cdot b^1}{a-b} = \frac{(a+b)b^2}{a-b}$.

Ответ: $\frac{(a+b)b^2}{a-b}$

в) Преобразуем выражение $\frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}}$.

Здесь у нас есть два множителя с отрицательными показателями: $a^{-1}$ в числителе и $(a+b)^{-2}$ в знаменателе.

Применим те же свойства степеней. Множитель $a^{-1}$ из числителя переносим в знаменатель как $a^1$.

Множитель $(a+b)^{-2}$ из знаменателя переносим в числитель как $(a+b)^2$.

Выполним преобразование:

$\frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} = \frac{2b^2(a+b)^2}{a^1} = \frac{2b^2(a+b)^2}{a}$.

Ответ: $\frac{2b^2(a+b)^2}{a}$

1081. Представьте в виде дроби выражение:

a) $xy^{-2} - x^{-2}y;$

б) $\left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{x}{y}\right)^{-2};$

в) $mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1};$

г) $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}).$

а) Чтобы представить выражение $xy^{-2} - x^{-2}y$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$xy^{-2} - x^{-2}y = x \cdot \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} \cdot y = \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}$.
Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю, который равен $x^2y^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x^2$, а второй дроби — на $y^2$:
$\frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3}{x^2y^2} - \frac{y^3}{x^2y^2}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$

б) Рассмотрим выражение $(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2}$.
Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{y}{x})^1 + (\frac{y}{x})^2 = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2$. Домножим первую дробь на $x$:
$\frac{y \cdot x}{x \cdot x} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2}$.
Сложим дроби:
$\frac{xy + y^2}{x^2}$.
Можно вынести общий множитель $y$ в числителе:
$\frac{y(x + y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{y(x + y)}{x^2}$

в) Преобразуем выражение $mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1}$.
Перепишем его, используя определение степени с отрицательным показателем:
$\frac{mn}{(n - m)^2} - \frac{n}{m - n}$.
Заметим, что $(n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (-1)^2(m - n)^2 = (m - n)^2$. Поэтому выражение можно переписать так:
$\frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n}{m - n}$.
Общий знаменатель для этих дробей — $(m - n)^2$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(m-n)$:
$\frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n(m - n)}{(m - n)(m - n)} = \frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n(m - n)}{(m - n)^2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{mn - n(m - n)}{(m - n)^2} = \frac{mn - nm + n^2}{(m - n)^2}$.
Упростим числитель:
$\frac{n^2}{(m - n)^2}$.
Ответ: $\frac{n^2}{(m - n)^2}$

г) Рассмотрим выражение $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1})$.
Это выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В нашем случае $a = x^{-1}$ и $b = y^{-1}$.
$(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}) = (x^{-1})^2 - (y^{-1})^2$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$x^{-1 \cdot 2} - y^{-1 \cdot 2} = x^{-2} - y^{-2}$.
Теперь перейдем к дробям:
$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

1082. Упростите выражение:

a) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}$

б) $\frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}$

а) Упростим выражение $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2} $.

1. Сначала преобразуем числитель, используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $

2. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $ xy $:

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} $

3. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x+y)^2} $

4. Разделим числитель на знаменатель. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$ \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{xy(x+y)^2} $

5. Сократим дробь на общий множитель $ (x+y) $:

$ \frac{1}{xy(x+y)} $

Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $

б) Упростим выражение $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $.

1. Используя определение степени с отрицательным показателем, перепишем выражение:

$ \frac{a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $

2. Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $

3. Преобразуем знаменатель, также приведя дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab} $

4. Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} $

5. Разделим одну дробь на другую, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю. Знаменатели $ ab $ сокращаются:

$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{a^2 - b^2}{b - a} $

6. Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{b - a} $

7. Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. Подставим это в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $

Ответ: $ -(a+b) $