Номер 1081, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1081, страница 249.

1081. Представьте в виде дроби выражение:

a) $xy^{-2} - x^{-2}y;$

б) $\left(\frac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\frac{x}{y}\right)^{-2};$

в) $mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1};$

г) $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}).$

а) Чтобы представить выражение $xy^{-2} - x^{-2}y$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$xy^{-2} - x^{-2}y = x \cdot \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} \cdot y = \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}$.
Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю, который равен $x^2y^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x^2$, а второй дроби — на $y^2$:
$\frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3}{x^2y^2} - \frac{y^3}{x^2y^2}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$

б) Рассмотрим выражение $(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2}$.
Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{y}{x})^1 + (\frac{y}{x})^2 = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2$. Домножим первую дробь на $x$:
$\frac{y \cdot x}{x \cdot x} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2}$.
Сложим дроби:
$\frac{xy + y^2}{x^2}$.
Можно вынести общий множитель $y$ в числителе:
$\frac{y(x + y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{y(x + y)}{x^2}$

в) Преобразуем выражение $mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1}$.
Перепишем его, используя определение степени с отрицательным показателем:
$\frac{mn}{(n - m)^2} - \frac{n}{m - n}$.
Заметим, что $(n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (-1)^2(m - n)^2 = (m - n)^2$. Поэтому выражение можно переписать так:
$\frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n}{m - n}$.
Общий знаменатель для этих дробей — $(m - n)^2$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(m-n)$:
$\frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n(m - n)}{(m - n)(m - n)} = \frac{mn}{(m - n)^2} - \frac{n(m - n)}{(m - n)^2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{mn - n(m - n)}{(m - n)^2} = \frac{mn - nm + n^2}{(m - n)^2}$.
Упростим числитель:
$\frac{n^2}{(m - n)^2}$.
Ответ: $\frac{n^2}{(m - n)^2}$

г) Рассмотрим выражение $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1})$.
Это выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В нашем случае $a = x^{-1}$ и $b = y^{-1}$.
$(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}) = (x^{-1})^2 - (y^{-1})^2$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$x^{-1 \cdot 2} - y^{-1 \cdot 2} = x^{-2} - y^{-2}$.
Теперь перейдем к дробям:
$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$