Номер 1086, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1086, страница 250.

1086. Представьте выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

а) $x$;

б) $x^{-1}$;

в) $x^{-2}$.

а) Чтобы представить выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения, одним из множителей которого является $x$, необходимо вынести $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x} + \frac{x^{-1}}{x} + \frac{x}{x}\right)$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x} = x^{-2-1} = x^{-3}$
$\frac{x^{-1}}{x} = x^{-1-1} = x^{-2}$
$\frac{x}{x} = x^{1-1} = x^0 = 1$
Следовательно, второй множитель равен $x^{-3} + x^{-2} + 1$.
Искомое произведение:
$x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$
Ответ: $x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$

б) Чтобы одним из множителей был $x^{-1}$, вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x^{-1}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-1} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-1}} + \frac{x^{-1}}{x^{-1}} + \frac{x}{x^{-1}}\right)$
Упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x^{-1}} = x^{-2 - (-1)} = x^{-2+1} = x^{-1}$
$\frac{x^{-1}}{x^{-1}} = x^{-1 - (-1)} = x^{-1+1} = x^0 = 1$
$\frac{x}{x^{-1}} = x^{1 - (-1)} = x^{1+1} = x^2$
Следовательно, второй множитель равен $x^2 + 1 + x^{-1}$ (слагаемые записаны в порядке убывания степеней).
Искомое произведение:
$x^{-1}(x^2 + 1 + x^{-1})$
Ответ: $x^{-1}(x^2 + 1 + x^{-1})$

в) Чтобы одним из множителей был $x^{-2}$, вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x^{-2}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-2} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2}} + \frac{x^{-1}}{x^{-2}} + \frac{x}{x^{-2}}\right)$
Упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2}} = x^{-2 - (-2)} = x^{-2+2} = x^0 = 1$
$\frac{x^{-1}}{x^{-2}} = x^{-1 - (-2)} = x^{-1+2} = x^1 = x$
$\frac{x}{x^{-2}} = x^{1 - (-2)} = x^{1+2} = x^3$
Следовательно, второй множитель равен $x^3 + x + 1$ (слагаемые записаны в порядке убывания степеней).
Искомое произведение:
$x^{-2}(x^3 + x + 1)$
Ответ: $x^{-2}(x^3 + x + 1)$