Номер 1092, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1092, страница 250.

1092. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $nx^2 - 5x + 1 = 0$ связаны соотношением $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Найдите $n$.

Дано квадратное уравнение $nx^2 - 5x + 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для того чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент $n$ не должен быть равен нулю ($n \neq 0$), а дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

Согласно теореме Виета для данного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{n} = \frac{5}{n}$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{1}{n}$.

Так как свободный член уравнения равен 1 (не равен 0), то ни один из корней не равен нулю, поэтому выражение $x_1^{-2} + x_2^{-2}$ определено.

По условию задачи, корни связаны соотношением $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Преобразуем левую часть этого равенства: $x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$.

Выразим числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, используя тождество $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета в преобразованное соотношение:
Числитель: $x_1^2 + x_2^2 = (\frac{5}{n})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{n}) = \frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}$.
Знаменатель: $(x_1 x_2)^2 = (\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$.

Подставляем эти выражения обратно в уравнение из условия: $\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}} = 13$.

Умножим числитель и знаменатель дроби в левой части на $n^2$ (это возможно, так как $n \neq 0$): $\frac{(\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}) \cdot n^2}{(\frac{1}{n^2}) \cdot n^2} = 13$
$25 - 2n = 13$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $n$:
$2n = 25 - 13$
$2n = 12$
$n = 6$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n$ условию существования действительных корней. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = 25 - 4n$.
При $n=6$, $D = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Также $n=6 \neq 0$. Следовательно, найденное значение $n$ является решением.

Ответ: $6$