Номер 1089, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1089, страница 250.

1089. Докажите, что при любом целом $n$ верно равенство:

a) $2^n + 2^n = 2^{n+1}$;

б) $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$.

а) Для того чтобы доказать равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$, преобразуем его левую часть. Выражение $2^n + 2^n$ представляет собой сумму двух одинаковых слагаемых. Мы можем вынести общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 1 \cdot 2^n + 1 \cdot 2^n = (1+1) \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. В нашем случае число $2$ можно представить как $2^1$. Тогда получаем:
$2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n} = 2^{n+1}$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Равенство доказано для любого целого $n$.
Ответ: Равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ верно, так как $2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.

б) Для доказательства равенства $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ также преобразуем его левую часть. В выражении $2 \cdot 3^n + 3^n$ можно вынести за скобки общий множитель $3^n$:
$2 \cdot 3^n + 3^n = 2 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n = (2+1) \cdot 3^n$.
Выполним сложение в скобках:
$(2+1) \cdot 3^n = 3 \cdot 3^n$.
Снова применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Представим число $3$ как $3^1$:
$3 \cdot 3^n = 3^1 \cdot 3^n = 3^{1+n} = 3^{n+1}$.
Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано для любого целого $n$.
Ответ: Равенство $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ верно, так как $2 \cdot 3^n + 3^n = (2+1) \cdot 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.