Номер 1088, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1088, страница 250.

1088. Упростите выражение:

а) $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$;

б) $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$, преобразуем его знаменатель. Вынесем в знаменателе общий множитель за скобки. Удобно вынести такой множитель, чтобы выражение в скобках совпало с числителем. Таким множителем является $x^{-17}$.
Вынесение общего множителя в знаменателе:
$x^{-5} + x^{-12} = x^{-17+12} + x^{-17+5} = x^{-17}x^{12} + x^{-17}x^{5} = x^{-17}(x^{12} + x^5)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:
$\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-17}(x^{12} + x^5)}$.
Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($x^5 + x^{12} = x^{12} + x^5$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^5 + x^{12})$, при условии что он не равен нулю. В результате получаем:
$\frac{1}{x^{-17}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, окончательно получаем:
$x^{17}$.
Ответ: $x^{17}$

б) Упростим выражение $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$, используя тот же подход, что и в предыдущем пункте. Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $a^{-12}$.
Вынесение общего множителя в знаменателе:
$a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-12+7} + a^{-12+6} + a^{-12+5} = a^{-12}a^7 + a^{-12}a^6 + a^{-12}a^5 = a^{-12}(a^7 + a^6 + a^5)$.
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-12}(a^7 + a^6 + a^5)}$.
Числитель и выражение в скобках в знаменателе равны. Сокращаем дробь на $(a^5 + a^6 + a^7)$, если это выражение не равно нулю:
$\frac{1}{a^{-12}}$.
По свойству степени с отрицательным показателем получаем:
$a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$