Номер 1084, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1084, страница 250.

1084. Упростите выражение (n — целое число):

а) $\frac{49^n}{7^{2n-1}}$;

б) $\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}.$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{49^n}{7^{2n-1}}$, представим число 49 в числителе как степень с основанием 7. Так как $49 = 7^2$, то $49^n = (7^2)^n = 7^{2n}$. Теперь исходное выражение принимает вид $\frac{7^{2n}}{7^{2n-1}}$. Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$), получаем: $7^{2n - (2n - 1)} = 7^{2n - 2n + 1} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

б) Чтобы упростить выражение $\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$, представим число 15 в числителе как произведение его простых множителей. Так как $15 = 3 \cdot 5$, то $15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n$. Теперь исходное выражение принимает вид $\frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$): $\frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)} = 3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 3^1 \cdot 5^{-1}$. Учитывая, что $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получаем $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$