Номер 1078, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Дисперсия и среднее квадартичное отклонение. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1078, страница 249.

1078. Как изменится дисперсия ряда чисел

$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6,$

если каждое число увеличить на положительное число $a$?

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и $a = 4$.

Выскажите предположение и проведите доказательство.

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, –1, –2 и a = 4.

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии $D$ для ряда из $n$ чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ со средним значением $\bar{x}$ имеет вид:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

1. Найдем дисперсию для исходного ряда: 1, 3, 6, 8, –1, –2.

Сначала вычислим среднее арифметическое ряда ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1 + 3 + 6 + 8 + (-1) + (-2)}{6} = \frac{15}{6} = 2.5$

Теперь вычислим квадраты отклонений от среднего:

• $(1 - 2.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
• $(3 - 2.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $(6 - 2.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25$
• $(8 - 2.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25$
• $(-1 - 2.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25$
• $(-2 - 2.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25$

Найдем сумму квадратов отклонений:

$2.25 + 0.25 + 12.25 + 30.25 + 12.25 + 20.25 = 77.5$

Вычислим дисперсию $D_1$:

$D_1 = \frac{77.5}{6} = \frac{155}{12} \approx 12.92$

2. Теперь увеличим каждое число ряда на $a = 4$ и найдем дисперсию нового ряда.

Новый ряд чисел:

• $1 + 4 = 5$
• $3 + 4 = 7$
• $6 + 4 = 10$
• $8 + 4 = 12$
• $-1 + 4 = 3$
• $-2 + 4 = 2$

Получился ряд: 5, 7, 10, 12, 3, 2.

Вычислим его среднее арифметическое ($\bar{y}$):

$\bar{y} = \frac{5 + 7 + 10 + 12 + 3 + 2}{6} = \frac{39}{6} = 6.5$

Вычислим квадраты отклонений от нового среднего:

• $(5 - 6.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
• $(7 - 6.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $(10 - 6.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25$
• $(12 - 6.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25$
• $(3 - 6.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25$
• $(2 - 6.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25$

Сумма квадратов отклонений:

$2.25 + 0.25 + 12.25 + 30.25 + 12.25 + 20.25 = 77.5$

Вычислим дисперсию $D_2$ для нового ряда:

$D_2 = \frac{77.5}{6} = \frac{155}{12} \approx 12.92$

Как видно из расчетов, $D_1 = D_2$. Дисперсия не изменилась.

Ответ: На данном примере дисперсия ряда не изменилась.

Выскажите предположение

Предположение: если каждое число ряда увеличить на некоторое число $a$, то дисперсия ряда не изменится. Это свойство не зависит от того, является ли число $a$ положительным.

Ответ: Дисперсия ряда не изменится.

проведите доказательство.

Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Его среднее арифметическое равно:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Его дисперсия равна:

$D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Создадим новый ряд чисел $y_1, y_2, \ldots, y_n$, увеличив каждый элемент исходного ряда на число $a$:

$y_i = x_i + a$

Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i + a)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + na}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} + \frac{na}{n} = \bar{x} + a$

Таким образом, среднее арифметическое нового ряда также увеличилось на $a$.

Теперь найдем дисперсию нового ряда $D_y$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}{n}$

Подставим в формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}((x_i + a) - (\bar{x} + a))^2}{n}$

Раскроем скобки в числителе:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i + a - \bar{x} - a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Полученное выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_y = D_x$.

Это доказывает, что прибавление одного и того же числа ко всем элементам ряда не изменяет его дисперсию. Дисперсия является мерой разброса данных относительно среднего, а сдвиг всех данных на одну и ту же величину не меняет их разброс.

Ответ: Доказано, что дисперсия ряда не изменится, если к каждому его элементу прибавить одно и то же число $a$.