Номер 1080, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1080, страница 249.

1080. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями:

а) $ \frac{am^{-2}}{a^{-1}b} $

б) $ \frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} $

в) $ \frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} $

а) Для преобразования выражения $\frac{am^{-2}}{a^{-1}b}$ необходимо избавиться от степеней с отрицательными показателями. Воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и, соответственно, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

Множитель $m^{-2}$ находится в числителе, поэтому мы переносим его в знаменатель, изменив знак показателя на положительный. Получаем $m^2$ в знаменателе.

Множитель $a^{-1}$ находится в знаменателе, поэтому мы переносим его в числитель, изменив знак показателя на положительный. Получаем $a^1$ (или просто $a$) в числителе.

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$\frac{am^{-2}}{a^{-1}b} = \frac{a \cdot a^1}{b \cdot m^2} = \frac{a^{1+1}}{bm^2} = \frac{a^2}{bm^2}$.

Ответ: $\frac{a^2}{bm^2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)}$.

В этом выражении есть только один множитель с отрицательным показателем степени — это $b^{-1}$ в знаменателе.

Используя правило $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, перенесем множитель $b^{-1}$ из знаменателя в числитель. При этом показатель степени изменит знак и станет $1$.

Получаем следующее преобразование:

$\frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} = \frac{(a+b)b \cdot b^1}{a-b} = \frac{(a+b)b^2}{a-b}$.

Ответ: $\frac{(a+b)b^2}{a-b}$

в) Преобразуем выражение $\frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}}$.

Здесь у нас есть два множителя с отрицательными показателями: $a^{-1}$ в числителе и $(a+b)^{-2}$ в знаменателе.

Применим те же свойства степеней. Множитель $a^{-1}$ из числителя переносим в знаменатель как $a^1$.

Множитель $(a+b)^{-2}$ из знаменателя переносим в числитель как $(a+b)^2$.

Выполним преобразование:

$\frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} = \frac{2b^2(a+b)^2}{a^1} = \frac{2b^2(a+b)^2}{a}$.

Ответ: $\frac{2b^2(a+b)^2}{a}$