Номер 1085, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1085, страница 250.

1085. Докажите, что значение выражения (m – целое число) не зависит от m:

а) $\frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}}$;

б) $\frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}}$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от m, нужно его упростить. Для этого представим число 21 как произведение простых множителей $3 \cdot 7$ и воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$.
$\frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{(3 \cdot 7)^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{3^m \cdot 7^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{7^m}{7^{m+1}} = 3^{m-(m-1)} \cdot 7^{m-(m+1)} = 3^{m-m+1} \cdot 7^{m-m-1} = 3^1 \cdot 7^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.
Так как в результате получилось число $\frac{3}{7}$, которое не содержит переменную m, мы доказали, что значение выражения не зависит от m.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

б) Для доказательства упростим данное выражение. Сначала разложим основания степеней 6, 10 и 15 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$; $10 = 2 \cdot 5$; $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$\frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}} = \frac{(2 \cdot 3)^m \cdot (2 \cdot 5)^{m+1}}{2^{2m} \cdot (3 \cdot 5)^{m-1}}$
Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:
$\frac{2^m \cdot 3^m \cdot 2^{m+1} \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства $a^k \cdot a^l = a^{k+l}$ и $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:
$\frac{2^{m+m+1}}{2^{2m}} \cdot \frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{5^{m+1}}{5^{m-1}} = \frac{2^{2m+1}}{2^{2m}} \cdot 3^{m-(m-1)} \cdot 5^{(m+1)-(m-1)}$
Упростим показатели степеней:
$2^{(2m+1)-2m} \cdot 3^{m-m+1} \cdot 5^{m+1-m+1} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$.
Полученное значение 150 является константой и не зависит от m, что и требовалось доказать.
Ответ: 150.