Страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1083. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (n — целое число):

a) $100^n$;

б) $0.1 \cdot 100^{n+3}$;

в) $0.01^n \cdot 10^{2-2n}$.

а) Чтобы представить выражение $100^n$ в виде степени с основанием 10, необходимо сначала представить число 100 как степень 10. Известно, что $100 = 10^2$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$100^n = (10^2)^n$
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
$(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$.

б) Для выражения $0,1 \cdot 100^{n+3}$ представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
Первый множитель $0,1$ можно записать как $10^{-1}$.
Второй множитель $100^{n+3}$ преобразуем, зная, что $100 = 10^2$:
$100^{n+3} = (10^2)^{n+3}$
Используя свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$0,1 \cdot 100^{n+3} = 10^{-1} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-1 + (2n+6)} = 10^{-1 + 2n + 6} = 10^{2n+5}$.
Ответ: $10^{2n+5}$.

в) Рассмотрим выражение $0,01^n \cdot 10^{2-2n}$. Второй множитель уже представлен в виде степени с основанием 10, поэтому преобразуем первый множитель.
Число 0,01 можно записать как $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
Подставим это в выражение для первого множителя:
$0,01^n = (10^{-2})^n$
Используя свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$(10^{-2})^n = 10^{-2 \cdot n} = 10^{-2n}$.
Теперь перемножим степени, используя правило $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$0,01^n \cdot 10^{2-2n} = 10^{-2n} \cdot 10^{2-2n} = 10^{-2n + (2-2n)} = 10^{-2n + 2 - 2n} = 10^{2-4n}$.
Ответ: $10^{2-4n}$.

1084. Упростите выражение (n — целое число):

а) $\frac{49^n}{7^{2n-1}}$;

б) $\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}.$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{49^n}{7^{2n-1}}$, представим число 49 в числителе как степень с основанием 7. Так как $49 = 7^2$, то $49^n = (7^2)^n = 7^{2n}$. Теперь исходное выражение принимает вид $\frac{7^{2n}}{7^{2n-1}}$. Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$), получаем: $7^{2n - (2n - 1)} = 7^{2n - 2n + 1} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

б) Чтобы упростить выражение $\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$, представим число 15 в числителе как произведение его простых множителей. Так как $15 = 3 \cdot 5$, то $15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n$. Теперь исходное выражение принимает вид $\frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$): $\frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)} = 3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 3^1 \cdot 5^{-1}$. Учитывая, что $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получаем $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

1085. Докажите, что значение выражения (m – целое число) не зависит от m:

а) $\frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}}$;

б) $\frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}}$.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от m, нужно его упростить. Для этого представим число 21 как произведение простых множителей $3 \cdot 7$ и воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$.
$\frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{(3 \cdot 7)^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{3^m \cdot 7^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{7^m}{7^{m+1}} = 3^{m-(m-1)} \cdot 7^{m-(m+1)} = 3^{m-m+1} \cdot 7^{m-m-1} = 3^1 \cdot 7^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.
Так как в результате получилось число $\frac{3}{7}$, которое не содержит переменную m, мы доказали, что значение выражения не зависит от m.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

б) Для доказательства упростим данное выражение. Сначала разложим основания степеней 6, 10 и 15 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$; $10 = 2 \cdot 5$; $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$\frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}} = \frac{(2 \cdot 3)^m \cdot (2 \cdot 5)^{m+1}}{2^{2m} \cdot (3 \cdot 5)^{m-1}}$
Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:
$\frac{2^m \cdot 3^m \cdot 2^{m+1} \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства $a^k \cdot a^l = a^{k+l}$ и $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:
$\frac{2^{m+m+1}}{2^{2m}} \cdot \frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{5^{m+1}}{5^{m-1}} = \frac{2^{2m+1}}{2^{2m}} \cdot 3^{m-(m-1)} \cdot 5^{(m+1)-(m-1)}$
Упростим показатели степеней:
$2^{(2m+1)-2m} \cdot 3^{m-m+1} \cdot 5^{m+1-m+1} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$.
Полученное значение 150 является константой и не зависит от m, что и требовалось доказать.
Ответ: 150.

1086. Представьте выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

а) $x$;

б) $x^{-1}$;

в) $x^{-2}$.

а) Чтобы представить выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения, одним из множителей которого является $x$, необходимо вынести $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x} + \frac{x^{-1}}{x} + \frac{x}{x}\right)$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x} = x^{-2-1} = x^{-3}$
$\frac{x^{-1}}{x} = x^{-1-1} = x^{-2}$
$\frac{x}{x} = x^{1-1} = x^0 = 1$
Следовательно, второй множитель равен $x^{-3} + x^{-2} + 1$.
Искомое произведение:
$x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$
Ответ: $x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$

б) Чтобы одним из множителей был $x^{-1}$, вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x^{-1}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-1} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-1}} + \frac{x^{-1}}{x^{-1}} + \frac{x}{x^{-1}}\right)$
Упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x^{-1}} = x^{-2 - (-1)} = x^{-2+1} = x^{-1}$
$\frac{x^{-1}}{x^{-1}} = x^{-1 - (-1)} = x^{-1+1} = x^0 = 1$
$\frac{x}{x^{-1}} = x^{1 - (-1)} = x^{1+1} = x^2$
Следовательно, второй множитель равен $x^2 + 1 + x^{-1}$ (слагаемые записаны в порядке убывания степеней).
Искомое произведение:
$x^{-1}(x^2 + 1 + x^{-1})$
Ответ: $x^{-1}(x^2 + 1 + x^{-1})$

в) Чтобы одним из множителей был $x^{-2}$, вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $x^{-2}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-2} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2}} + \frac{x^{-1}}{x^{-2}} + \frac{x}{x^{-2}}\right)$
Упростим каждый член в скобках:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2}} = x^{-2 - (-2)} = x^{-2+2} = x^0 = 1$
$\frac{x^{-1}}{x^{-2}} = x^{-1 - (-2)} = x^{-1+2} = x^1 = x$
$\frac{x}{x^{-2}} = x^{1 - (-2)} = x^{1+2} = x^3$
Следовательно, второй множитель равен $x^3 + x + 1$ (слагаемые записаны в порядке убывания степеней).
Искомое произведение:
$x^{-2}(x^3 + x + 1)$
Ответ: $x^{-2}(x^3 + x + 1)$

1087. В выражении $a^{-6} + a^{-4}$ вынесите за скобки множитель:

а) $a^{-4}$;

б) $a^{-6}$.

а) Чтобы вынести множитель $a^{-4}$ за скобки в выражении $a^{-6} + a^{-4}$, необходимо каждый член этого выражения разделить на $a^{-4}$.

Воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, то есть $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Разделим первый член выражения на $a^{-4}$:

$\frac{a^{-6}}{a^{-4}} = a^{-6 - (-4)} = a^{-6+4} = a^{-2}$

Разделим второй член выражения на $a^{-4}$:

$\frac{a^{-4}}{a^{-4}} = a^{-4 - (-4)} = a^{-4+4} = a^0 = 1$

Теперь запишем исходное выражение, вынеся $a^{-4}$ за скобки. В скобках останутся результаты деления:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-4}(a^{-2} + 1)$

Ответ: $a^{-4}(a^{-2} + 1)$

б) Аналогично, чтобы вынести за скобки множитель $a^{-6}$, разделим каждый член выражения $a^{-6} + a^{-4}$ на $a^{-6}$.

Разделим первый член выражения на $a^{-6}$:

$\frac{a^{-6}}{a^{-6}} = a^{-6 - (-6)} = a^{-6+6} = a^0 = 1$

Разделим второй член выражения на $a^{-6}$:

$\frac{a^{-4}}{a^{-6}} = a^{-4 - (-6)} = a^{-4+6} = a^2$

Теперь запишем исходное выражение, вынеся $a^{-6}$ за скобки. В скобках останутся результаты деления:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-6}(1 + a^2)$

Ответ: $a^{-6}(1 + a^2)$

1088. Упростите выражение:

а) $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$;

б) $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$, преобразуем его знаменатель. Вынесем в знаменателе общий множитель за скобки. Удобно вынести такой множитель, чтобы выражение в скобках совпало с числителем. Таким множителем является $x^{-17}$.
Вынесение общего множителя в знаменателе:
$x^{-5} + x^{-12} = x^{-17+12} + x^{-17+5} = x^{-17}x^{12} + x^{-17}x^{5} = x^{-17}(x^{12} + x^5)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:
$\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-17}(x^{12} + x^5)}$.
Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($x^5 + x^{12} = x^{12} + x^5$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x^5 + x^{12})$, при условии что он не равен нулю. В результате получаем:
$\frac{1}{x^{-17}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, окончательно получаем:
$x^{17}$.
Ответ: $x^{17}$

б) Упростим выражение $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$, используя тот же подход, что и в предыдущем пункте. Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $a^{-12}$.
Вынесение общего множителя в знаменателе:
$a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-12+7} + a^{-12+6} + a^{-12+5} = a^{-12}a^7 + a^{-12}a^6 + a^{-12}a^5 = a^{-12}(a^7 + a^6 + a^5)$.
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-12}(a^7 + a^6 + a^5)}$.
Числитель и выражение в скобках в знаменателе равны. Сокращаем дробь на $(a^5 + a^6 + a^7)$, если это выражение не равно нулю:
$\frac{1}{a^{-12}}$.
По свойству степени с отрицательным показателем получаем:
$a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$

1089. Докажите, что при любом целом $n$ верно равенство:

a) $2^n + 2^n = 2^{n+1}$;

б) $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$.

а) Для того чтобы доказать равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$, преобразуем его левую часть. Выражение $2^n + 2^n$ представляет собой сумму двух одинаковых слагаемых. Мы можем вынести общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 1 \cdot 2^n + 1 \cdot 2^n = (1+1) \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. В нашем случае число $2$ можно представить как $2^1$. Тогда получаем:
$2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n} = 2^{n+1}$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Равенство доказано для любого целого $n$.
Ответ: Равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ верно, так как $2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.

б) Для доказательства равенства $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ также преобразуем его левую часть. В выражении $2 \cdot 3^n + 3^n$ можно вынести за скобки общий множитель $3^n$:
$2 \cdot 3^n + 3^n = 2 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n = (2+1) \cdot 3^n$.
Выполним сложение в скобках:
$(2+1) \cdot 3^n = 3 \cdot 3^n$.
Снова применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Представим число $3$ как $3^1$:
$3 \cdot 3^n = 3^1 \cdot 3^n = 3^{1+n} = 3^{n+1}$.
Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано для любого целого $n$.
Ответ: Равенство $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ верно, так как $2 \cdot 3^n + 3^n = (2+1) \cdot 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.

1090. Сократите дробь (n — целое число):

a) $ \frac{3^{n+1} - 3^n}{2} $;

б) $ \frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} $.

а)

Дана дробь $\frac{3^{n+1} - 3^n}{2}$.
Чтобы сократить дробь, нужно упростить числитель. Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.
Представим $3^{n+1}$ как $3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$.
Подставим это выражение в числитель:
$3^{n+1} - 3^n = 3 \cdot 3^n - 3^n$.
Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:
$3^n(3 - 1)$.
Выполним вычитание в скобках:
$3^n \cdot 2$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{2 \cdot 3^n}{2}$.
Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$3^n$.
Ответ: $3^n$.

б)

Дана дробь $\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Так как $4 = 2^2$, то $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$.
Дробь примет вид: $\frac{2^n + 2^{-n}}{2^{2n} + 1}$.
Теперь преобразуем числитель. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$.
$2^n + 2^{-n} = 2^n + \frac{1}{2^n}$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю $2^n$:
$2^n + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n \cdot 2^n}{2^n} + \frac{1}{2^n} = \frac{(2^n)^2 + 1}{2^n} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n}$.
Подставим полученное выражение для числителя в нашу дробь:
$\frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1}$.
Это можно записать как деление дроби на выражение:
$\frac{2^{2n} + 1}{2^n} \div (2^{2n} + 1) = \frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)}$.
Сократим одинаковые выражения $(2^{2n} + 1)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$\frac{1}{2^n}$.
Ответ: $\frac{1}{2^n}$.

1091. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных:

а) $ \frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} $

б) $ \frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^{n-2}} $

В) $ \frac{5^m 4^n}{5^{m-2} 2^{2n} + 5^m 2^{2n-1}} $

Г) $ \frac{21^n}{3^{n-1} 7^{n+1} + 3^n 7^n} $

а)Чтобы доказать, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных, необходимо упростить его. Для этого вынесем в числителе общий множитель за скобки. Общим множителем является произведение степеней с наименьшими показателями: $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
$2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n = 2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1 = 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (2 - 3) = -1 \cdot 2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби и, используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, сократим ее:
$ \frac{-1 \cdot 2^{m-1} \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} = -1 \cdot \frac{2^{m-1}}{2^m} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = -1 \cdot 2^{m-1-m} \cdot 3^{n-1-n} = -1 \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-1} = -1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} $.
Значение выражения равно $ -\frac{1}{6} $ и не зависит от целых значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: $ -\frac{1}{6} $.

б)Упростим данное выражение. Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство степени произведения: $ 10^{n-2} = (5 \cdot 2)^{n-2} = 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
Теперь преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель состоит из наименьших степеней оснований 5 и 2, то есть $ 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
$ 5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1} = 5^{(n-2)+3} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{(n-2)+1} = 5^3 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} + 2^1 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} = (5^3 + 2) \cdot (5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) = (125 + 2) \cdot (5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) = 127 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{127 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2}}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}} = 127 $.
Значение выражения равно $ 127 $ и не зависит от целого значения переменной $n$.
Ответ: $ 127 $.

в)Упростим данное выражение. Сначала заметим, что $ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}} $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Наименьшая степень основания 5 это $ 5^{m-2} $, а наименьшая степень основания 2 это $ 2^{2n-1} $. Общий множитель: $ 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1} $.
$ 5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1} = 5^{m-2} \cdot 2^{(2n-1)+1} + 5^{(m-2)+2} \cdot 2^{2n-1} = 2^1 \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) + 5^2 \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) = (2 + 25) \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) = 27 \cdot 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1} $.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим:
$ \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{27 \cdot 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{5^m}{5^{m-2}} \cdot \frac{2^{2n}}{2^{2n-1}} = \frac{1}{27} \cdot 5^{m-(m-2)} \cdot 2^{2n-(2n-1)} = \frac{1}{27} \cdot 5^2 \cdot 2^1 = \frac{25 \cdot 2}{27} = \frac{50}{27} $.
Значение выражения равно $ \frac{50}{27} $ и не зависит от целых значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: $ \frac{50}{27} $.

г)Упростим данное выражение. Сначала преобразуем числитель: $ 21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Наименьшая степень основания 3 это $ 3^{n-1} $, а наименьшая степень основания 7 это $ 7^n $. Общий множитель: $ 3^{n-1} \cdot 7^n $.
$ 3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n = 3^{n-1} \cdot 7^{n} \cdot 7^1 + 3^{(n-1)+1} \cdot 7^n = 7 \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) + 3 \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) = (7+3) \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) = 10 \cdot 3^{n-1} \cdot 7^n $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим:
$ \frac{3^n \cdot 7^n}{10 \cdot 3^{n-1} \cdot 7^n} = \frac{1}{10} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{7^n}{7^n} = \frac{1}{10} \cdot 3^{n-(n-1)} \cdot 7^{n-n} = \frac{1}{10} \cdot 3^1 \cdot 7^0 = \frac{3}{10} \cdot 1 = \frac{3}{10} $.
Значение выражения равно $ \frac{3}{10} $ и не зависит от целого значения переменной $n$.
Ответ: $ \frac{3}{10} $.

1092. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $nx^2 - 5x + 1 = 0$ связаны соотношением $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Найдите $n$.

Дано квадратное уравнение $nx^2 - 5x + 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для того чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент $n$ не должен быть равен нулю ($n \neq 0$), а дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

Согласно теореме Виета для данного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{n} = \frac{5}{n}$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{1}{n}$.

Так как свободный член уравнения равен 1 (не равен 0), то ни один из корней не равен нулю, поэтому выражение $x_1^{-2} + x_2^{-2}$ определено.

По условию задачи, корни связаны соотношением $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Преобразуем левую часть этого равенства: $x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$.

Выразим числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, используя тождество $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета в преобразованное соотношение:
Числитель: $x_1^2 + x_2^2 = (\frac{5}{n})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{n}) = \frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}$.
Знаменатель: $(x_1 x_2)^2 = (\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{n^2}$.

Подставляем эти выражения обратно в уравнение из условия: $\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}} = 13$.

Умножим числитель и знаменатель дроби в левой части на $n^2$ (это возможно, так как $n \neq 0$): $\frac{(\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}) \cdot n^2}{(\frac{1}{n^2}) \cdot n^2} = 13$
$25 - 2n = 13$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $n$:
$2n = 25 - 13$
$2n = 12$
$n = 6$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n$ условию существования действительных корней. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = 25 - 4n$.
При $n=6$, $D = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Также $n=6 \neq 0$. Следовательно, найденное значение $n$ является решением.

Ответ: $6$

1093. Выразите время в секундах и запишите полученное число в стандартном виде:

а) 1 ч;

б) 1 сутки;

в) 1 год;

г) 1 век.

а) 1 ч;
Чтобы выразить 1 час в секундах, необходимо знать, что в 1 часе содержится 60 минут, а в 1 минуте — 60 секунд. Перемножим эти значения:
$1 \text{ ч} = 60 \text{ минут} \times 60 \frac{\text{секунд}}{\text{минута}} = 3600 \text{ с}$.
Теперь представим полученное число 3600 в стандартном виде. Стандартный вид числа — это запись вида $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
$3600 = 3,6 \times 1000 = 3,6 \times 10^3$.
Ответ: $3,6 \times 10^3$ с.

б) 1 сутки;
В одних сутках содержится 24 часа. Используя результат из предыдущего пункта, где 1 час равен 3600 секундам, найдем количество секунд в сутках:
$1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа} \times 3600 \frac{\text{секунд}}{\text{час}} = 86400 \text{ с}$.
Запишем число 86400 в стандартном виде:
$86400 = 8,64 \times 10000 = 8,64 \times 10^4$.
Ответ: $8,64 \times 10^4$ с.

в) 1 год;
Примем, что в году 365 суток (рассматриваем невисокосный год). В сутках, как мы выяснили, 86400 секунд. Найдем количество секунд в году:
$1 \text{ год} = 365 \text{ суток} \times 86400 \frac{\text{секунд}}{\text{сутки}} = 31536000 \text{ с}$.
Представим число 31 536 000 в стандартном виде:
$31536000 = 3,1536 \times 10000000 = 3,1536 \times 10^7$.
Ответ: $3,1536 \times 10^7$ с.

г) 1 век.
В одном веке 100 лет. Используя результат предыдущего пункта (количество секунд в году), найдем количество секунд в веке. Для упрощения расчетов, будем считать все годы невисокосными.
$1 \text{ век} = 100 \text{ лет} \times 31536000 \frac{\text{секунд}}{\text{год}} = 3153600000 \text{ с}$.
Запишем число 3 153 600 000 в стандартном виде. Это можно сделать, умножив стандартную форму числа секунд в году на 100 ($10^2$):
$100 \times (3,1536 \times 10^7 \text{ с}) = 3,1536 \times 10^7 \times 10^2 \text{ с} = 3,1536 \times 10^{7+2} \text{ с} = 3,1536 \times 10^9 \text{ с}$.
Ответ: $3,1536 \times 10^9$ с.

1094. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде:

а) $(3,4 \cdot 10^{15}) \cdot (7 \cdot 10^{-12});$

б) $(8,1 \cdot 10^{-23}) \cdot (2 \cdot 10^{21});$

в) $(9,6 \cdot 10^{-12}) : (3,2 \cdot 10^{-15});$

г) $(4,08 \cdot 10^{11}) : (5,1 \cdot 10^{-7}).$

а)

Чтобы умножить два числа, записанных в стандартном виде, нужно отдельно умножить их мантиссы и отдельно степени десяти. Затем, при необходимости, привести результат к стандартному виду.

$(3,4 \cdot 10^{15}) \cdot (7 \cdot 10^{-12}) = (3,4 \cdot 7) \cdot (10^{15} \cdot 10^{-12})$

Вычисляем произведение мантисс:

$3,4 \cdot 7 = 23,8$

Вычисляем произведение степеней десяти, складывая их показатели:

$10^{15} \cdot 10^{-12} = 10^{15 + (-12)} = 10^3$

Получаем промежуточный результат:

$23,8 \cdot 10^3$

Число $23,8$ не является стандартной мантиссой, так как $23,8 \ge 10$. Приведем его к стандартному виду: $23,8 = 2,38 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение:

$(2,38 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 2,38 \cdot 10^{1+3} = 2,38 \cdot 10^4$

Ответ: $2,38 \cdot 10^4$.

б)

Выполняем умножение аналогично предыдущему пункту:

$(8,1 \cdot 10^{-23}) \cdot (2 \cdot 10^{21}) = (8,1 \cdot 2) \cdot (10^{-23} \cdot 10^{21})$

Произведение мантисс:

$8,1 \cdot 2 = 16,2$

Произведение степеней десяти:

$10^{-23} \cdot 10^{21} = 10^{-23 + 21} = 10^{-2}$

Промежуточный результат:

$16,2 \cdot 10^{-2}$

Приводим результат к стандартному виду. Мантисса $16,2 \ge 10$. Представим ее в стандартном виде: $16,2 = 1,62 \cdot 10^1$.

Подставляем обратно:

$(1,62 \cdot 10^1) \cdot 10^{-2} = 1,62 \cdot 10^{1+(-2)} = 1,62 \cdot 10^{-1}$

Ответ: $1,62 \cdot 10^{-1}$.

в)

Чтобы разделить два числа, записанных в стандартном виде, нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно степени десяти. Затем, при необходимости, привести результат к стандартному виду.

$(9,6 \cdot 10^{-12}) : (3,2 \cdot 10^{-15}) = (9,6 : 3,2) \cdot (10^{-12} : 10^{-15})$

Вычисляем частное мантисс:

$9,6 : 3,2 = 3$

Вычисляем частное степеней десяти, вычитая их показатели:

$10^{-12} : 10^{-15} = 10^{-12 - (-15)} = 10^{-12 + 15} = 10^3$

Объединяем результаты:

$3 \cdot 10^3$

Мантисса $3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 < 10$, поэтому результат уже в стандартном виде.

Ответ: $3 \cdot 10^3$.

г)

Выполняем деление аналогично предыдущему пункту:

$(4,08 \cdot 10^{11}) : (5,1 \cdot 10^{-7}) = (4,08 : 5,1) \cdot (10^{11} : 10^{-7})$

Частное мантисс:

$4,08 : 5,1 = 0,8$

Частное степеней десяти:

$10^{11} : 10^{-7} = 10^{11 - (-7)} = 10^{11 + 7} = 10^{18}$

Промежуточный результат:

$0,8 \cdot 10^{18}$

Приводим результат к стандартному виду. Мантисса $0,8 < 1$. Представим ее в стандартном виде: $0,8 = 8 \cdot 10^{-1}$.

Подставляем обратно:

$(8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{18} = 8 \cdot 10^{-1+18} = 8 \cdot 10^{17}$

Ответ: $8 \cdot 10^{17}$.