Номер 1091, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1091, страница 250.

1091. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных:

а) $ \frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} $

б) $ \frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^{n-2}} $

В) $ \frac{5^m 4^n}{5^{m-2} 2^{2n} + 5^m 2^{2n-1}} $

Г) $ \frac{21^n}{3^{n-1} 7^{n+1} + 3^n 7^n} $

а)Чтобы доказать, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных, необходимо упростить его. Для этого вынесем в числителе общий множитель за скобки. Общим множителем является произведение степеней с наименьшими показателями: $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
$2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n = 2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1 = 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (2 - 3) = -1 \cdot 2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби и, используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, сократим ее:
$ \frac{-1 \cdot 2^{m-1} \cdot 3^{n-1}}{2^m \cdot 3^n} = -1 \cdot \frac{2^{m-1}}{2^m} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = -1 \cdot 2^{m-1-m} \cdot 3^{n-1-n} = -1 \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-1} = -1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} $.
Значение выражения равно $ -\frac{1}{6} $ и не зависит от целых значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: $ -\frac{1}{6} $.

б)Упростим данное выражение. Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство степени произведения: $ 10^{n-2} = (5 \cdot 2)^{n-2} = 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
Теперь преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель состоит из наименьших степеней оснований 5 и 2, то есть $ 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
$ 5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1} = 5^{(n-2)+3} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{(n-2)+1} = 5^3 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} + 2^1 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} = (5^3 + 2) \cdot (5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) = (125 + 2) \cdot (5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) = 127 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{127 \cdot 5^{n-2} \cdot 2^{n-2}}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}} = 127 $.
Значение выражения равно $ 127 $ и не зависит от целого значения переменной $n$.
Ответ: $ 127 $.

в)Упростим данное выражение. Сначала заметим, что $ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} $. Подставим это в выражение:
$ \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}} $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Наименьшая степень основания 5 это $ 5^{m-2} $, а наименьшая степень основания 2 это $ 2^{2n-1} $. Общий множитель: $ 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1} $.
$ 5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1} = 5^{m-2} \cdot 2^{(2n-1)+1} + 5^{(m-2)+2} \cdot 2^{2n-1} = 2^1 \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) + 5^2 \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) = (2 + 25) \cdot (5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}) = 27 \cdot 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1} $.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим:
$ \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{27 \cdot 5^{m-2} \cdot 2^{2n-1}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{5^m}{5^{m-2}} \cdot \frac{2^{2n}}{2^{2n-1}} = \frac{1}{27} \cdot 5^{m-(m-2)} \cdot 2^{2n-(2n-1)} = \frac{1}{27} \cdot 5^2 \cdot 2^1 = \frac{25 \cdot 2}{27} = \frac{50}{27} $.
Значение выражения равно $ \frac{50}{27} $ и не зависит от целых значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: $ \frac{50}{27} $.

г)Упростим данное выражение. Сначала преобразуем числитель: $ 21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Наименьшая степень основания 3 это $ 3^{n-1} $, а наименьшая степень основания 7 это $ 7^n $. Общий множитель: $ 3^{n-1} \cdot 7^n $.
$ 3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n = 3^{n-1} \cdot 7^{n} \cdot 7^1 + 3^{(n-1)+1} \cdot 7^n = 7 \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) + 3 \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) = (7+3) \cdot (3^{n-1} \cdot 7^n) = 10 \cdot 3^{n-1} \cdot 7^n $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим:
$ \frac{3^n \cdot 7^n}{10 \cdot 3^{n-1} \cdot 7^n} = \frac{1}{10} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{7^n}{7^n} = \frac{1}{10} \cdot 3^{n-(n-1)} \cdot 7^{n-n} = \frac{1}{10} \cdot 3^1 \cdot 7^0 = \frac{3}{10} \cdot 1 = \frac{3}{10} $.
Значение выражения равно $ \frac{3}{10} $ и не зависит от целого значения переменной $n$.
Ответ: $ \frac{3}{10} $.