Номер 1090, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1090, страница 250.

1090. Сократите дробь (n — целое число):

a) $ \frac{3^{n+1} - 3^n}{2} $;

б) $ \frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1} $.

а)

Дана дробь $\frac{3^{n+1} - 3^n}{2}$.
Чтобы сократить дробь, нужно упростить числитель. Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.
Представим $3^{n+1}$ как $3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$.
Подставим это выражение в числитель:
$3^{n+1} - 3^n = 3 \cdot 3^n - 3^n$.
Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:
$3^n(3 - 1)$.
Выполним вычитание в скобках:
$3^n \cdot 2$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{2 \cdot 3^n}{2}$.
Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$3^n$.
Ответ: $3^n$.

б)

Дана дробь $\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Так как $4 = 2^2$, то $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$.
Дробь примет вид: $\frac{2^n + 2^{-n}}{2^{2n} + 1}$.
Теперь преобразуем числитель. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$.
$2^n + 2^{-n} = 2^n + \frac{1}{2^n}$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю $2^n$:
$2^n + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n \cdot 2^n}{2^n} + \frac{1}{2^n} = \frac{(2^n)^2 + 1}{2^n} = \frac{2^{2n} + 1}{2^n}$.
Подставим полученное выражение для числителя в нашу дробь:
$\frac{\frac{2^{2n} + 1}{2^n}}{2^{2n} + 1}$.
Это можно записать как деление дроби на выражение:
$\frac{2^{2n} + 1}{2^n} \div (2^{2n} + 1) = \frac{2^{2n} + 1}{2^n \cdot (2^{2n} + 1)}$.
Сократим одинаковые выражения $(2^{2n} + 1)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$\frac{1}{2^n}$.
Ответ: $\frac{1}{2^n}$.