Номер 1083, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1083, страница 250.

1083. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (n — целое число):

a) $100^n$;

б) $0.1 \cdot 100^{n+3}$;

в) $0.01^n \cdot 10^{2-2n}$.

а) Чтобы представить выражение $100^n$ в виде степени с основанием 10, необходимо сначала представить число 100 как степень 10. Известно, что $100 = 10^2$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$100^n = (10^2)^n$
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
$(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$.

б) Для выражения $0,1 \cdot 100^{n+3}$ представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
Первый множитель $0,1$ можно записать как $10^{-1}$.
Второй множитель $100^{n+3}$ преобразуем, зная, что $100 = 10^2$:
$100^{n+3} = (10^2)^{n+3}$
Используя свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$0,1 \cdot 100^{n+3} = 10^{-1} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-1 + (2n+6)} = 10^{-1 + 2n + 6} = 10^{2n+5}$.
Ответ: $10^{2n+5}$.

в) Рассмотрим выражение $0,01^n \cdot 10^{2-2n}$. Второй множитель уже представлен в виде степени с основанием 10, поэтому преобразуем первый множитель.
Число 0,01 можно записать как $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
Подставим это в выражение для первого множителя:
$0,01^n = (10^{-2})^n$
Используя свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:
$(10^{-2})^n = 10^{-2 \cdot n} = 10^{-2n}$.
Теперь перемножим степени, используя правило $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$0,01^n \cdot 10^{2-2n} = 10^{-2n} \cdot 10^{2-2n} = 10^{-2n + (2-2n)} = 10^{-2n + 2 - 2n} = 10^{2-4n}$.
Ответ: $10^{2-4n}$.