Номер 1076, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Дисперсия и среднее квадартичное отклонение. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1076, страница 249.

1076. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:

a) $-5, -8, 6, 7, 4, 3;$

б) $1, 0, 3, 0, 6, 4.$

а) Для ряда чисел: –5, –8, 6, 7, 4, 3. Всего 6 чисел ($n=6$).
Сначала найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{-5 + (-8) + 6 + 7 + 4 + 3}{6} = \frac{7}{6}$.
Затем вычислим дисперсию ($D$) — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения. Найдем квадраты отклонений для каждого числа:
$(-5 - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{30}{6} - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{37}{6})^2 = \frac{1369}{36}$;
$(-8 - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{48}{6} - \frac{7}{6})^2 = (-\frac{55}{6})^2 = \frac{3025}{36}$;
$(6 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{36}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{29}{6})^2 = \frac{841}{36}$;
$(7 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{42}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{35}{6})^2 = \frac{1225}{36}$;
$(4 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{24}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{17}{6})^2 = \frac{289}{36}$;
$(3 - \frac{7}{6})^2 = (\frac{18}{6} - \frac{7}{6})^2 = (\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$.
Сумма квадратов отклонений равна: $\frac{1369 + 3025 + 841 + 1225 + 289 + 121}{36} = \frac{6870}{36}$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$:
$D = \frac{6870/36}{6} = \frac{6870}{216} = \frac{1145}{36}$.
Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{1145}{36}} = \frac{\sqrt{1145}}{6}$.
Ответ: дисперсия $\frac{1145}{36}$; среднее квадратичное отклонение $\frac{\sqrt{1145}}{6}$.

б) Для ряда чисел: 1, 0, 3, 0, 6, 4. Всего 6 чисел ($n=6$).
Сначала найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{1 + 0 + 3 + 0 + 6 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Затем вычислим дисперсию ($D$). Найдем квадраты отклонений для каждого числа:
$(1 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{3}{3} - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$;
$(0 - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$;
$(3 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{9}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$;
$(0 - \frac{7}{3})^2 = (-\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$;
$(6 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{18}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9}$;
$(4 - \frac{7}{3})^2 = (\frac{12}{3} - \frac{7}{3})^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$.
Сумма квадратов отклонений равна: $\frac{16 + 49 + 4 + 49 + 121 + 25}{9} = \frac{264}{9}$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$:
$D = \frac{264/9}{6} = \frac{264}{54} = \frac{44}{9}$.
Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{44}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{3} = \frac{2\sqrt{11}}{3}$.
Ответ: дисперсия $\frac{44}{9}$; среднее квадратичное отклонение $\frac{2\sqrt{11}}{3}$.