Номер 1072, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Дисперсия и среднее квадартичное отклонение. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1072, страница 248.

1072. Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:

а) среднее арифметическое;

б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;

в) сумму квадратов отклонений;

г) дисперсию ряда.

а) среднее арифметическое;

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма всех чисел, деленная на их количество. Дан ряд чисел: 5, 6, 8, 10, 7, 2. Количество чисел в ряду, обозначаемое как $n$, равно 6.

Сначала найдем сумму всех чисел в ряду:

$S = 5 + 6 + 8 + 10 + 7 + 2 = 38$

Теперь разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее арифметическое $\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$

Ответ: $6\frac{1}{3}$.

б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;

Отклонение – это разность между каждым конкретным числом в ряду и средним арифметическим этого ряда. Мы уже вычислили, что среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{19}{3}$. Вычислим отклонения для каждого члена ряда:

Отклонение для 5: $5 - \frac{19}{3} = \frac{15}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Отклонение для 6: $6 - \frac{19}{3} = \frac{18}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{1}{3}$

Отклонение для 8: $8 - \frac{19}{3} = \frac{24}{3} - \frac{19}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Отклонение для 10: $10 - \frac{19}{3} = \frac{30}{3} - \frac{19}{3} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

Отклонение для 7: $7 - \frac{19}{3} = \frac{21}{3} - \frac{19}{3} = \frac{2}{3}$

Отклонение для 2: $2 - \frac{19}{3} = \frac{6}{3} - \frac{19}{3} = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; 1\frac{2}{3}; 3\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; -4\frac{1}{3}$.

в) сумму квадратов отклонений;

Для нахождения суммы квадратов отклонений необходимо каждое отклонение, найденное в предыдущем пункте, возвести в квадрат, а затем сложить полученные значения.

Квадрат отклонения для 5: $(-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

Квадрат отклонения для 6: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Квадрат отклонения для 8: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$

Квадрат отклонения для 10: $(\frac{11}{3})^2 = \frac{121}{9}$

Квадрат отклонения для 7: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

Квадрат отклонения для 2: $(-\frac{13}{3})^2 = \frac{169}{9}$

Теперь сложим эти квадраты:

$\frac{16}{9} + \frac{1}{9} + \frac{25}{9} + \frac{121}{9} + \frac{4}{9} + \frac{169}{9} = \frac{16+1+25+121+4+169}{9} = \frac{336}{9}$

Сократим дробь: $\frac{336}{9} = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3}$

Ответ: $37\frac{1}{3}$.

г) дисперсию ряда.

Дисперсия – это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений. Чтобы ее найти, нужно сумму квадратов отклонений, вычисленную в пункте в), разделить на количество членов ряда $n$.

Сумма квадратов отклонений равна $\frac{112}{3}$, а количество членов ряда $n = 6$.

Вычисляем дисперсию $D$:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{\frac{112}{3}}{6} = \frac{112}{3 \cdot 6} = \frac{112}{18} = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9}$

Ответ: $6\frac{2}{9}$.