Номер 1068, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1068, страница 245.

1068. Известно, что точки A(a; $\frac{1}{2601}$) и B(0,0625; b) принадлежат графику функции $y = x^{-2}$. Найдите a и b.

По условию задачи известно, что точки $A(a; \frac{1}{2601})$ и $B(0,0625; b)$ принадлежат графику функции $y = x^{-2}$. Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению функции. Мы можем найти неизвестные значения $a$ и $b$, подставив координаты точек в уравнение.

Нахождение a

Для точки $A(a; \frac{1}{2601})$ имеем $x=a$ и $y=\frac{1}{2601}$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^{-2}$:

$\frac{1}{2601} = a^{-2}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = \frac{1}{x^n}$), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

$\frac{1}{2601} = \frac{1}{a^2}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:

$a^2 = 2601$

Чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из 2601. Уравнение имеет два решения:

$a = \pm\sqrt{2601}$

$a = \pm51$

Таким образом, для $a$ возможны два значения: 51 и -51.

Ответ: $a = 51$ или $a = -51$.

Нахождение b

Для точки $B(0,0625; b)$ имеем $x=0,0625$ и $y=b$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^{-2}$:

$b = (0,0625)^{-2}$

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь 0,0625 в обыкновенную:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{125}{2000} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b$:

$b = (\frac{1}{16})^{-2}$

Используя свойство $(\frac{m}{n})^{-k} = (\frac{n}{m})^k$, получаем:

$b = (\frac{16}{1})^2 = 16^2$

$b = 256$

Ответ: $b = 256$.