Номер 1065, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1065, страница 245.

1065. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0, \\ x^{-1}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Найдите:

a) значение y, если x = -2; 2;

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо построить график каждой из функций на указанном промежутке.

1. На промежутке $x \le 0$ функция задается формулой $y = x$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, (0, 0) и (-3, -3). Мы строим часть этой прямой только для неположительных значений $x$ — это луч, начинающийся в точке (0, 0) и идущий в III четверть.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = x^{-1}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$. Графиком этой функции является гипербола. Так как $x > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая расположена в I координатной четверти. Эта ветвь проходит через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2) и асимптотически приближается к осям координат. Точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этой части графика.

Итоговый график состоит из двух частей: луча $y=x$ при $x \le 0$ и ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$.

а) значение y, если x = -2; 2;

Чтобы найти значение $y$ для заданного $x$, необходимо определить, какому из интервалов ($x \le 0$ или $x > 0$) принадлежит $x$ и использовать соответствующую формулу.

При $x = -2$:
Поскольку $-2 \le 0$, используем первую формулу: $y = x$.
$y = -2$.

При $x = 2$:
Поскольку $2 > 0$, используем вторую формулу: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
$y = \frac{1}{2}$.
Ответ: при $x = -2$ значение $y = -2$; при $x = 2$ значение $y = \frac{1}{2}$.

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Чтобы найти значение $x$ для заданного $y$, необходимо решить уравнения для каждой части функции и проверить, принадлежит ли найденный корень соответствующему промежутку.

При $y = -4$:

1. Рассмотрим случай $x \le 0$, где $y = x$.
Подставляем $y=-4$: $x = -4$.
Проверяем условие: $-4 \le 0$. Условие выполнено, следовательно, $x = -4$ является решением.

2. Рассмотрим случай $x > 0$, где $y = \frac{1}{x}$.
Подставляем $y=-4$: $-4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = -\frac{1}{4}$.
Проверяем условие: $-\frac{1}{4} > 0$. Условие не выполнено, следовательно, это не является решением.

Таким образом, для $y = -4$ есть только одно решение: $x = -4$.

При $y = 4$:

1. Рассмотрим случай $x \le 0$, где $y = x$.
Подставляем $y=4$: $x = 4$.
Проверяем условие: $4 \le 0$. Условие не выполнено, следовательно, это не является решением.

2. Рассмотрим случай $x > 0$, где $y = \frac{1}{x}$.
Подставляем $y=4$: $4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = \frac{1}{4}$.
Проверяем условие: $\frac{1}{4} > 0$. Условие выполнено, следовательно, $x = \frac{1}{4}$ является решением.

Таким образом, для $y = 4$ есть только одно решение: $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: при $y = -4$ значение $x = -4$; при $y = 4$ значение $x = \frac{1}{4}$.