Номер 1067, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1067, страница 245.

1067. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^{-1}$, где $x > 0$, и $y = x^{-2}$, где $x > 0$. Сравните значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если:

а) $0 < x < 1$;

б) $x > 1$.

Для решения задачи построим графики функций $y = x^{-1}$ и $y = x^{-2}$ в одной системе координат при $x > 0$ и затем сравним их значения на заданных промежутках.

Сначала перепишем данные функции в виде дробей:

• $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$
• $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Так как по условию $x > 0$, графики обеих функций будут располагаться в первой координатной четверти.

Построение графиков

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

Таблица значений для $y = \frac{1}{x}$:

$x$	0.25	0.5	1	2	4
$y$	4	2	1	0.5	0.25

Таблица значений для $y = \frac{1}{x^2}$:

$x$	0.25	0.5	1	2	4
$y$	16	4	1	0.25	0.0625

Чтобы найти точку пересечения графиков, приравняем выражения для $y$:

$x^{-1} = x^{-2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$

Учитывая, что $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2$:

$x = 1$

При $x=1$ ордината $y = 1^{-1} = 1^{-2} = 1$. Следовательно, графики пересекаются в точке $(1; 1)$.

Построив графики по точкам, мы увидим, что обе кривые (ветви гипербол) убывают на всей области определения $x > 0$. Они асимптотически приближаются к оси Y при $x \to 0^+$ и к оси X при $x \to \infty$. График $y = x^{-2}$ проходит выше графика $y = x^{-1}$ на интервале $(0, 1)$ и ниже него на интервале $(1, \infty)$.

Теперь, используя графики и алгебраические методы, сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$.

а) $0 < x < 1$

Из анализа графиков видно, что на интервале $(0, 1)$ кривая $y = x^{-2}$ лежит выше кривой $y = x^{-1}$. Это означает, что для любого $x$ из данного интервала выполняется неравенство $x^{-2} > x^{-1}$.

Для алгебраического доказательства сравним выражения, рассмотрев их разность: $x^{-2} - x^{-1} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x^2}$.

В интервале $0 < x < 1$ числитель $(1-x)$ является положительным числом, и знаменатель $x^2$ также положителен. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1-x}{x^2} > 0$

Следовательно, $x^{-2} - x^{-1} > 0$, что равносильно $x^{-2} > x^{-1}$.

Ответ: если $0 < x < 1$, то $x^{-1} < x^{-2}$.

б) $x > 1$

На интервале $(1, \infty)$ график функции $y = x^{-1}$ расположен выше графика функции $y = x^{-2}$. Это говорит о том, что при $x > 1$ значение $x^{-1}$ больше значения $x^{-2}$.

Рассмотрим ту же разность: $x^{-2} - x^{-1} = \frac{1-x}{x^2}$.

При $x > 1$ числитель $(1-x)$ является отрицательным числом, а знаменатель $x^2$ — положительным. Значит, вся дробь отрицательна:

$\frac{1-x}{x^2} < 0$

Следовательно, $x^{-2} - x^{-1} < 0$, что равносильно $x^{-2} < x^{-1}$.

Ответ: если $x > 1$, то $x^{-1} > x^{-2}$.