Номер 1066, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1066, страница 245.

1066. Постройте график функции $y = |x^{-1}|$. Как расположен этот график относительно оси y?

Постройте график функции $y = |x^{-1}|$

Для построения графика функции $y = |x^{-1}|$ сначала преобразуем данное выражение. По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Следовательно, исходную функцию можно записать в виде $y = |\frac{1}{x}|$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, прямая $x=0$ (ось $y$) является вертикальной асимптотой графика.

Построение графика удобно выполнить в два этапа. Сначала построим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Затем применим преобразование модуля $y = |f(x)|$ к графику $y=f(x)$. Согласно правилу, часть графика, находящаяся над осью $x$ (где $y \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, находящаяся под осью $x$ (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси $x$.

Применим это правило к графику $y = \frac{1}{x}$:

• Ветвь в первой четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) остается на своем месте.
• Ветвь в третьей четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) отражается относительно оси $x$ и переходит во вторую четверть.

Таким образом, итоговый график функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Для $x > 0$ график совпадает с $y = \frac{1}{x}$, а для $x < 0$ — с $y = -\frac{1}{x}$. Обе ветви асимптотически приближаются к осям координат.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей. Одна ветвь является частью гиперболы $y=1/x$ в первой координатной четверти. Вторая ветвь является отражением части гиперболы $y=1/x$ из третьей четверти относительно оси абсцисс и расположена во второй координатной четверти.

Как расположен этот график относительно оси y?

Чтобы определить расположение графика относительно оси $y$, необходимо исследовать функцию на четность. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси $y$.

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = |x^{-1}| = |\frac{1}{x}|$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$: $f(-x) = |(-x)^{-1}| = |-\frac{1}{x}|$.

Так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа, $|-a| = |a|$, то: $f(-x) = |-\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x}| = f(x)$.

Поскольку условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ симметричен относительно оси $y$.