Номер 1064, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1064, страница 245.

1064. Докажите, что прямая $y = -x + l$, где $l$ — некоторое положительное число, и гипербола $y = x^{-1}$:

а) имеют две общие точки, если $l > 2$;

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$;

в) не имеют общих точек, если $l < 2$.

Для того чтобы найти количество общих точек прямой $y = -x + l$ и гиперболы $y = x^{-1}$ (что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$), необходимо найти количество решений системы этих двух уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$-x + l = \frac{1}{x}$

Так как $x=0$ не входит в область определения гиперболы, мы можем без опасений умножить обе части уравнения на $x$. Это приведет к равносильному уравнению:

$x(-x + l) = 1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде:

$-x^2 + lx - 1 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$x^2 - lx + 1 = 0$

Количество общих точек исходных графиков равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней, в свою очередь, зависит от знака его дискриминанта $D$. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-l$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = l^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений для каждого из трех случаев, в зависимости от значения $l$.

а) имеют две общие точки, если $l > 2$
Графики имеют две общие точки, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ строго больше нуля. Решим неравенство $D > 0$:
$l^2 - 4 > 0$
$l^2 > 4$
Это неравенство справедливо при $l > 2$ или $l < -2$. Поскольку по условию задачи $l$ — положительное число, мы рассматриваем только решение $l > 2$. Таким образом, доказано, что при $l > 2$ прямая и гипербола имеют две общие точки. Ответ: Утверждение доказано.

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$
Графики имеют одну общую точку, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю. Решим уравнение $D = 0$:
$l^2 - 4 = 0$
$l^2 = 4$
Отсюда получаем $l = 2$ или $l = -2$. Так как по условию $l$ — положительное число, нам подходит только корень $l = 2$. При этом значении $l$ прямая является касательной к гиперболе. Таким образом, доказано, что при $l = 2$ графики имеют одну общую точку. Ответ: Утверждение доказано.

в) не имеют общих точек, если $l < 2$
Графики не имеют общих точек, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант $D$ отрицателен. Решим неравенство $D < 0$:
$l^2 - 4 < 0$
$l^2 < 4$
Это неравенство эквивалентно $-2 < l < 2$. Учитывая, что по условию $l$ — положительное число, получаем интервал $0 < l < 2$. Условие в задаче ($l < 2$) для положительных $l$ полностью соответствует этому результату. Таким образом, доказано, что при $l < 2$ (и $l>0$) графики не имеют общих точек. Ответ: Утверждение доказано.