Номер 1, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1, страница 241.

1 В каких случаях генеральная совокупность при исследовании за- меняется выборочной? Каким условиям должна удовлетворять вы- борка?

В каких случаях генеральная совокупность при исследовании заменяется выборочной?

Генеральная совокупность — это вся совокупность объектов или явлений, относительно которых исследователь намерен сделать выводы. Исследование всей генеральной совокупности (так называемое сплошное исследование) часто бывает невозможным или нецелесообразным. В таких случаях её заменяют выборочной совокупностью (или просто выборкой), то есть частью генеральной совокупности, отобранной для изучения.

Замена генеральной совокупности на выборочную происходит в следующих основных случаях:

• Бесконечно большой или очень большой объем генеральной совокупности. Когда число элементов в совокупности настолько велико, что их полное изучение физически невозможно или займет неоправданно много времени. Например: изучение мнения всех жителей страны по какому-либо вопросу, анализ качества всей произведенной продукции крупного завода за год, исследование всех песчинок на пляже.
• Экономическая нецелесообразность. Сплошное исследование может требовать огромных финансовых, материальных и трудовых затрат. Выборочное исследование значительно дешевле и позволяет получить результаты с приемлемой точностью при меньших расходах. Например: маркетинговые исследования для запуска нового продукта, большинство социологических опросов.
• Разрушающий характер контроля. Если исследование связано с уничтожением или повреждением объекта, то проверка всей совокупности приведет к уничтожению всей продукции. Например: проверка лампочек на продолжительность горения, испытание консервов на вкус, тестирование автомобилей на прочность при аварии (краш-тесты), проверка снарядов на пригодность.
• Необходимость получения срочных результатов. Выборочное исследование проводится гораздо быстрее, что критически важно, когда информация нужна оперативно для принятия управленческих или политических решений.

Таким образом, к выборочному методу прибегают, когда сплошное исследование является невозможным, слишком дорогим, долгим или ведет к уничтожению изучаемых объектов.

Ответ: Генеральная совокупность заменяется выборочной, когда проведение сплошного исследования невозможно (из-за слишком большого объема совокупности), нецелесообразно с точки зрения затрат времени и ресурсов, или когда исследование носит разрушающий характер и ведет к уничтожению изучаемых объектов.

Каким условиям должна удовлетворять выборка?

Чтобы выводы, полученные при изучении выборки, можно было с достаточной степенью уверенности распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна удовлетворять двум ключевым условиям: репрезентативности и достаточному объему.

1. Репрезентативность (представительность). Это основное требование к выборке. Репрезентативная выборка — это выборка, которая правильно отражает структуру и основные характеристики генеральной совокупности. Это означает, что все важные для исследования группы элементов из генеральной совокупности должны быть представлены в выборке в тех же пропорциях. Например, если в генеральной совокупности студентов 55% девушек и 45% юношей, то и в репрезентативной выборке соотношение полов должно быть близким к этому.
   Достижение репрезентативности обеспечивается, в первую очередь, за счет случайности отбора. Случайный отбор гарантирует, что каждый элемент генеральной совокупности имеет равные или, по крайней мере, известные шансы попасть в выборку, что минимизирует систематическую ошибку (смещение).
2. Достаточный объем (размер). Выборка должна быть достаточно большой, чтобы минимизировать случайную ошибку и обеспечить статистическую значимость результатов. Слишком маленькая выборка не сможет адекватно отразить все разнообразие генеральной совокупности, и выводы, сделанные на ее основе, будут ненадежными.
   Объем выборки $n$ зависит от нескольких факторов:
   • Степени однородности генеральной совокупности (дисперсии изучаемого признака $ \sigma^2 $). Чем более разнородна совокупность, тем больше должен быть объем выборки.
   • Требуемой точности результатов (предельной ошибки выборки $E$ или $\Delta$). Чем выше точность нам нужна, тем больше должна быть выборка.
   • Уровня доверительной вероятности ($1-\alpha$), который определяет, с какой степенью уверенности можно переносить результаты с выборки на генеральную совокупность. Обычно используют уровни 95% или 99%. Этому уровню соответствует определенный Z-коэффициент (например, для 95% $Z \approx 1.96$).
   Формула для расчета минимального объема выборки для количественного признака при большом объеме генеральной совокупности может выглядеть так: $ n \ge \frac{Z^2 \cdot \sigma^2}{E^2} $
   Где $n$ – объем выборки, $Z$ – Z-оценка для заданного уровня доверия, $\sigma$ – стандартное отклонение в генеральной совокупности, $E$ – предельная ошибка.

Ответ: Выборка должна быть, во-первых, репрезентативной, то есть адекватно отражать характеристики генеральной совокупности, что достигается случайностью отбора. Во-вторых, она должна иметь достаточный объем (размер), чтобы обеспечить статистическую надежность и точность результатов исследования.