Номер 1057, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Наглядное представление статистической информации. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1057, страница 241.

1057. Докажите тождество:

a) $(\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1}) \cdot (\frac{a}{a-1})^{-1} - \frac{2}{a-1} = 0;$

б) $(\frac{1+x}{x^2-xy} + \frac{1-y}{y^2-xy}) \cdot (\frac{x+y}{x^2y-y^2x})^{-1} = 1;$

в) $3a(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3}) \cdot (\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}) - (\frac{a^2-c^2}{3c^2})^{-1} = 3.$

а) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в первых скобках. Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2+1-2a = (a-1)^2$.
$ \frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1}{a-1} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)^2$:
$ \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{a-1}{(a-1)^2} = \frac{a+1+a-1}{(a-1)^2} = \frac{2a}{(a-1)^2} $
Теперь упростим выражение во вторых скобках. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:
$ \left(\frac{a}{a-1}\right)^{-1} = \frac{a-1}{a} $
Перемножим полученные результаты:
$ \frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a} = \frac{2a(a-1)}{a(a-1)^2} $
Сократим дробь на $a$ и $(a-1)$:
$ \frac{2}{a-1} $
Теперь выполним последнее действие — вычитание:
$ \frac{2}{a-1} - \frac{2}{a-1} = 0 $
Левая часть равна правой части, тождество доказано при допустимых значениях $a \neq 1$ и $a \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в первых скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy = x(x-y)$ и $y^2-xy = y(y-x) = -y(x-y)$.
$ \frac{1+x}{x^2-xy} + \frac{1-y}{y^2-xy} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{y(x-y)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $xy(x-y)$:
$ \frac{y(1+x) - x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy-x+xy}{xy(x-y)} = \frac{2xy-x+y}{xy(x-y)} $
Теперь упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатель на множители и применим свойство степени -1 (обратная дробь):
$ \left(\frac{x+y}{x^2y-y^2x}\right)^{-1} = \left(\frac{x+y}{xy(x-y)}\right)^{-1} = \frac{xy(x-y)}{x+y} $
Перемножим полученные результаты:
$ \frac{2xy-x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y} $
Сократим дробь на $xy(x-y)$:
$ \frac{2xy-x+y}{x+y} $
Полученное выражение не равно 1 для всех допустимых значений $x$ и $y$. Например, подставим $x=2, y=3$:
$ \frac{2(2)(3)-2+3}{2+3} = \frac{12-2+3}{5} = \frac{13}{5} \neq 1 $
Следовательно, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы между дробями в первой скобке стоял знак минус, тождество было бы верным.
Ответ: Данное равенство не является тождеством.

в) Преобразуем левую часть тождества. Сначала рассмотрим выражение в больших скобках. Упростим произведение дробей, используя формулу разности кубов $a^3-c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$:
$ \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{c}{a^2-c^2} $
Теперь выполним вычитание в скобках:
$ \frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} $
Приведем к общему знаменателю $(a-c)(a+c)$:
$ \frac{a+c}{(a-c)(a+c)} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a}{a^2-c^2} $
Умножим полученный результат на $3a$:
$ 3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2} $
Теперь преобразуем вторую часть выражения. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:
$ \left(\frac{a^2-c^2}{3c^2}\right)^{-1} = \frac{3c^2}{a^2-c^2} $
Выполним финальное вычитание:
$ \frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} $
Сократим дробь на $(a^2-c^2)$:
$ 3 $
Левая часть равна правой части, тождество доказано при допустимых значениях $a \neq c, a \neq -c, c \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.